Vektorregning

"Hvis tal er godt, er vektorer dobbelt så godt."

Emner

Vektorer i planen (2d)

Grundbegreber
Den geometriske tolkning
Tværvektor
Skalarproduktet (prikproduktet)
Determinant
Projektion
Arealberegning
Additionsformlerne
Den rette linie

Andet

Vektorer i rummet

Grundbegreber

I vektorregning regner vi med to- (eller fler-) dimensionale størrelser kaldet vektorer a^→ = ( a₁ , a₂ ), hvor a₁ og a₂ (vektorens koordinater) er tal.

Vektorerne i^→ = ( 1, 0 ) , j^→ = ( 0, 1 ) og 0^→ = ( 0, 0 ) kaldes henholdsvis første enhedsvektor, anden enhedsvektor (tilsammen basisvektorerne) og nul-vektoren.

En ikke - nulvektor kaldes en egentlig vektor.

Ortogonale vektorer er egentlige vektorer, der står vinkelret på hinanden.

Beklager, din browser kan ikke vise applets.

Vektorkonstruktioner

Lad a^→ = ( a₁ , a₂ ) og b^→ = ( b₁ , b₂ ). k er et tal. Vi får brug for følgende konstruktioner:

Addition : a^→ + b^→ = ( a₁ + b₁ , a₂ + b₂ )
Multiplikation med et tal : k · a^→ = ( k a₁ , k a₂ )
Subtraktion : a^→ – b^→ = ( a₁ – b₁ , a₂ – b₂ )
Tværvektor : a^ = ( –a₂ , a₁)
Skalarprodukt : a^→ · b^→ = a₁ b₁ + a₂ b₂
Længde : |a^→| = √ ( a₁² + a₂² ) = √ ( a^→ · a^→ )
Determinant : det( a^→ , b^→ ) = a₁ b₂ – a₂ b₁

Bemærk, at de 4 første konstruktioner er vektorer. De sidste 3 er tal.
" · " betyder én ting mellem tal, en anden mellem et tal og en vektor og en tredie mellem to vektorer.
" |?| " betyder absolutværdien for tal; men længden for vektorer.

Beklager, din browser kan ikke vise applets.

Vektorsætninger

Sætningerne eftervises ved at indsætte vektorernes koordinater.

a^→ + b^→ = b^→ + a^→
a^→ + ( b^→ + c^→ ) = ( a^→ + b^→ ) + c^→
k · ( a^→ + b^→) = k · a^→ + k · b^→
a^→ – b^→ = a^→ + (–1)b^→
a^{→ .} a^→ = |a^→|²
a^{→ .} b^→ = b^{→ .} a^→
a^{→ .} ( b^→ + c^→) = a^{→ .} b^→ + a^{→ .} c^→
i^ = j^→
j^ = –i^→
|a^{^}| = |a^→|
a^→ · a^ = 0
det( a^→ , b^→ ) = a^ · b^→
det( a^→ , b^→ ) = –det( b^→ , a^→ )

Den geometriske tolkning

Vektorregning blev opfundet i 1700-tallet, for at gøre det muligt at regne med liniestykker.

Har A og B koordinaterne ( a₁ , a₂ ) og ( b₁ , b₂ ), sættes vektor AB^→ = ( b₁ – a₁ , b₂ – a₂ ). Den illustreres af en pil fra A med spids i B.

Er A = O, bliver OB^→ = ( b₁ , b₂ ), som kaldes B's stedvektor, med samme koordinater som B.

Vi ser, at AB^→ = ( b₁ – a₁ , b₂ – a₂ ) = ( b₁ , b₂ ) – ( a₁ , a₂ ) = OB^→ – OA^→,
eller OB^→ = OA^→ + AB^→.

Vektor og stedvektor

Beklager, din browser kan ikke vise applets.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Tværvektor a^

Man kan ændre en vektors længde ved at gange den med et tal, men hvordan ændre dens retning? Den simpleste drejning (bortset fra 180° ved at gange med –1) er 90°. Men dem er der to af, så for at skelne kalder vi drejningen mod uret for den positive. Vi ser, at

i^ = (1, 0)^ = (0, 1) = j^→

j^ = (0, 1)^ = (–1, 0) = –i^→

Er a^→ = ( a₁ , a₂) = a₁i^→ + a₂j^→ bliver

a^ = a₁i^ + a₂j^ = a₁(0, 1) + a₂(–1, 0) = (–a₂, a₁).

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Skalarproduktet (prikproduktet)

Lad c^→ = a^→ – b^→. (De tre vektorer ligger som sider i en trekant).
( a^→ – b^→ )² = ( a^→ – b^→ ) · ( a^→ – b^→ ) = ( a^→)² + ( b^→)² – 2 a^→ · b^→, eller
|c^→|² = |a^→|² + | b^→|² – 2 a^→ · b^→, eller
2 a^→ · b^→ = |a^→|² + | b^→|² – |c^→|². Heraf ses to ting:

For det første: Skalarproduktet kan beregnes ud fra vektor-længder alene. Skalarproduktet af to vektorer giver altså samme værdi uanset hvilket koordinatsystem, beregningen foregår i.

For det andet: Ved sammenligning med cosinusrelationen a² + b² – c² = 2ab · cos(C) ser vi, at
a^{→ .} b^→ = |a^→| · |b^→| · cos(C), hvor C er vinklen mellem vektorerne.

cos( vinkel ( a^→, b^→) ) =

a^{→ .}b^→
|a^→| · |b^→|

a^→ · b^→ > 0

cos( vinkel ( a^→ , b^→) ) > 0

0° < vinkel( a^→ , b^→) < 90°
a^→ · b^→ = 0

cos( vinkel ( a^→ , b^→) ) = 0

vinkel( a^→ , b^→) = 90°

ortogonale.
a^→ · b^→ < 0

cos( vinkal ( a^→ , b^→) ) < 0

90° < vinkel( a^→ , b^→) < 180°.

Relationen gør det muligt at definere skalarproduktet i tilfælde, hvor vektorernes koordinater ikke er kendte.

Denne regnemaskine beregner skalarprodukt og determinant for et vektorpar.
Ændr værdierne for a^→ eller b^→ og klik uden for boksen

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Determinanter

Tallet det( a^→ , b^→ ) = a^ · b^→ kaldes determinanten af vektorparret.
Det ses, at

det( a^→ , b^→ ) = a^ · b^→ =

(

–a₂
a₁

)

(

b₁
b₂

)

= a₁b₂ – a₂b₁ =

|
|

a₁
a₂

b₁
b₂

|
|

Den sidste skrivemåde ses hyppigt i matematisk litteratur.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Opløsning af en vektor efter givne retninger

Beklager, din browser kan ikke vise applets.

c^→ = ( c₁, c₂ ) = c₁ ( 1, 0 ) + c₂ ( 0, 1 ) = c₁i^→ + c₂j^→, er en opløsning af c^→ efter koordinataksernes retninger.

At opløse vektoren c^→ = AB^→ efter to vektores ( a^→ og b^→ ) retninger vil sige at finde to tal x og y , så c^→ = x a^→ + y b^→. Man siger, at c^→ er skrevet som en linearkombination af vektorerne a^→ og b^→. Det sker ved at tegne linier gennem A og B parallelle med de to retninger; ialt 4 linier. Disse 4 linier afgrænser et parallellogram, på hvis sider a^→ - og b^→ -pilene ligger.

Er c^→ = ( c₁, c₂ ), og retningerne givet ved vektorerne a^→ = ( a₁, a₂ ) og b^→ = ( b₁, b₂ ), går opgaven ud på at løse ligningen x a^→ + y b^→ = c^→. d.v.s. at løse ligningssystemet

x a₁ + y b₁ = c₁

x a₂ + y b₂ = c₂

Løsningen bliver som vist her.

x =

c₁b₂ – c₂b₁
a₁b₂ – a₂b₁

det( c^→ , b^→ )
det( a^→ , b^→ )

og y =

a₁c₂ – a₂c₁
a₁b₂ – a₂b₁

det( a^→ , c^→ )
det( a^→ , b^→ )

Ved hjælp af vektorregning kan vektorligningen x a^→ + y b^→ = c^→ løses fikst. Vi ganger skalært med a^{^} og b^{^} og får to ligninger

x a^{^} · a^→ + y a^{^} · b^→ = a^{^} · c^→ og x b^{^} · a^→ + y b^{^} · b^→ = b^{^} · c^→

Da a^{^} · a^→ = b^{^} · b^→ = 0 og b^{^} · a^→ = –a^{^} · b^→, har vi

y a^{^} · b^→ = a^{^} · c^→ og x ( –a^{^} · b^→) = –c^{^} · b^→, hvoraf resultatet følger.

I litteraturen anvendes ofte følgende determinantsymbol

det( a^→ , b^→) =

|
|

a₁ b₁
a₂ b₂

|
|

= a₁ b₂ – b₁ a₂ .

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Projektion

Vi opløser vektor a^→ efter vektor b^→ og vektor b^{^}'s retninger. D.v.s. a^→ = k₁ b^→ + k₂ b^ , hvor a_b^→ = k₁ b^→ kaldes a^→'s projektion på b^→, og a_b^ = k₂ b^ kaldes a^→'s projektion på b^.

Ved skalær multiplikation i ligningen a^→ = k₁ b^→ + k₂ b^ med b^→ får vi
a^→ · b^→ = k₁ b^→ · b^→ + k₂ b^ · b^→ = k₁ |b^→|², hvoraf k₁ = a^→ · b^→ / |b^→|².
Ved skalær multiplikation i ligningen a^→ = k₁ b^→ + k₂ b^ med b^ får vi
b^ · a^→ = k₁ b^ · b^→ + k₂ b^ · b^ = k₂ |b^|² = k₂ |b^→|², hvoraf k₂ = b^ · a^→ / |b^→|². Altså

a_b^→ =

a^→ · b^→
|b^→|²

· b^→ og a_b^ =

b^ · a^→
|b^→|²

· b^ .

Sætter vi b^→ / |b^→| = e^→ og b^ / |b^→| = f^ (enhedsvektorer) får vi

a_b^→ = ( a^→ · e^→ ) e^→

a_b^ = ( a^→ · f^ ) f^ .

Denne regnemaskine beregner a^→'s projektioner på b^→ og b^.
Ændr værdierne for a^→ eller b^→ og klik uden for boksen

a^→ = ( , ) og b^→ = ( , ) giver
a_b^→ = ( , ) og a_b^ = ( , )

Beklager, din browser kan ikke vise applets.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Arealberegning

Vi ser på det parallellogram, der udspændes af vektorerne a^→ og b^→. D.v.s. det parallellogram, hvis sider ligger langs vektorerne. Parallellogrammets areal beregnes ved at gange grundlinien med højden, d.v.s. |a^→| med længden af b^→'s projektion på a^; |b_a^|. Vi finder

Areal = |a^→| · |b_a^| = |a^→| ·

|
|
|

a^ · b^→
|a^→|²

· a^

|
|
|

= |a^ · b^→| = |det( a^→ , b^→)| .

Ved sammenligning med arealformlen Areal_trekant = ½ a b sin(C) ses, idet vi nu regner vinkler med fortegn, at a b |sin(C)| = |det( a^→, b^→)| , eller

sin( vinkel( a^→, b^→) ) =

a^ · b^→
|a^→| · |b^→|

det( a^→, b^→)
|a^→| · |b^→|

Parallellogramarealer kan beregnes i denne regnemaskine.

Beklager, din browser kan ikke vise applets.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Additionsformlerne

To enhedsvektorer e^→ og f^→ har koordinaterne

e^→ =

(

cos(v)
sin(v)

)

og f^→ =

(

cos(u)
sin(u)

)

Vinklen fra e^→'s retning til f^→'s retning er w = u – v. Der gælder

cos(u – v) = e^→ · f^→ = cos(u) cos(v) + sin(u) sin(v) og
sin(u – v) = det(e^→ , f^→) = sin(u) cos(v) – cos(u) sin(v).

Erstatter vi i disse udtryk v med –v, (cos(–v) = cos(v) og sin(–v) = –sin(v)) har vi de fire additionsformler

cos(u + v) = cos(u) cos(v) – sin(u) sin(v),
cos(u – v) = cos(u) cos(v) + sin(u) sin(v),
sin(u + v) = sin(u) cos(v) + cos(u) sin(v),
sin(u – v) = sin(u) cos(v) – cos(u) sin(v).

Ved addition og subtraktion af disse ligninger, får vi

cos(u + v) + cos(u – v) = 2 cos(u) cos(v),
cos(u + v) – cos(u – v) = –2 sin(u) sin(v),
sin(u + v) + sin(u – v) = sin(u) cos(v),
sin(u + v) – sin(u – v) = 2 cos(u) sin(v).

Sætter vi u + v = x og u – v = y er u = (x + y) / 2 og v = (x – y) / 2. Dette giver de logaritmiske formler

cos(x) + cos(y) = 2 cos

(

x + y
2

)

cos

(

x – y
2

)

cos(x) – cos(y) = –2 sin

(

x + y
2

)

sin

(

x – y
2

)

sin(x) + sin(y) = 2 sin

(

x + y
2

)

cos

(

x – y
2

)

sin(x) – sin(y) = 2 cos

(

x + y
2

)

sin

(

x – y
2

)

Anvendelser
Sættes v = u i additionsformlerne, får vi

cos( 2u ) = cos²(u) – sin²(u) = 2 cos²(u) – 1 = 1 – 2 sin²(u)

sin( 2u ) = 2 sin(u) cos(u) .

Additionsformlen for tangens bliver

tan(u + v) =

sin(u + v)
cos(u + v)

sin(u) cos(v) + cos(u) sin(v)
cos(u) cos(v) – sin(u) sin(v)

tan(u) + tan(v)
1 – tan(u) tan(v)

Sættes v = u, får vi

tan( 2u ) =

2 tan(u)
1 – tan²(u)

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Den rette linie

En linie med normalvektor n^→ gennem P₀ består af alle de punkter P, hvor vektoren P₀P^→ er vinkelret på n^→. Er n^→ = ( a, b ) og P₀ = ( x₀, y₀ ) er

l = { P(x, y) | P₀P^→ · n^→ = 0 }.

Er P = ( x , y ) , er P₀P^→ = ( x – x₀, y – y₀ ) , og vi finder

a ( x – x₀ ) + b ( y – y₀ ) = 0

a x + b y = a x₀ + b y₀ = c ,

i overensstemmelse med resultatet fra geometrien.

Afstanden fra P til linien l er længden af P₀P^→'s projektion på n^→, altså

Dist( P , l ) =

|
|
|

P₀P^→ · n^→
|n^→|²

· n^→

|
|
|

P₀P^→ · n^→
|n^→|

|
|
|

|a x + b y – c|

_√
a² + b²

Denne regnemaskine beregner P( x , y )'s afstand til linien l : a x + b y = c .
Ændr værdierne for x , y , a , b , c og klik uden for boksen

P = ( , ) og (a , b , c) = ( , , ) giver Dist( P , l ) =

Beklager, din browser kan ikke vise applets.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Beklager, din browser kan ikke vise applets.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]

Antal besøgende siden 1 apr. 2001: