Regnemaskinen regner om mellem grader og radianer.Ændr en af værdierne for v° og vradianer og klik uden for boksen. |
De trigonometriske funktioner kaldes også de harmoniske funktioner, fordi de er egnede til at beskrive lydbølger (og andre bølger).
Når sin(x), cos(x) og tan(x) opfattes som funktioner, er det sædvane at måle deres argument (x) i radianer. D.v.s. at vinkler måles ved deres buer på enhedscirklen, og målestokken er cirklens radius = 1. Da en cirkels omkreds er 2 π, svarer dette tal til 360°.
|
Regnemaskinen regner om mellem grader og radianer. Ændr en af værdierne for v° og vradianer og klik uden for boksen. |
Da cos(x) og sin(x) er defineret som koordinaterne til retningspunktet Px på enhedscirklen, er
Figuren demonstrerer cos(x) og sin(x) som funktioner af x.
Da Px og P2π+x ligger samme sted på enhedscirklen, er
Man siger, at sin og cos er periodiske med perioden 2π.
Da Px og P–x ligger symmetrisk om 1-aksen er
Da Px og Pπ–x ligger symmetrisk om 2-aksen er
Da Px og Pπ+x ligger symmetrisk om (0, 0) er
Da Px og Pπ/2–x ligger symmetrisk om linien y = x , er
I den retvinklede ΔABC med hypotenusen |AB| = 1 er vinkel ∠A = u, og ∠DAC = v. Vi ser, at |AC| = cos(u) og |BC| = sin(u) samt at |CD| = cos(u)· tan(v). ∠DAB = u – v, og |
| Anvendes sinusrelationen på ΔADB fås | sin(u – v) sin(u) – cos(u)· tan(v) |
= | sin(90° + v) 1 |
= cos(v) eller |
sin(u – v) = [sin(u) – cos(u)· tan(v)] cos(v) = sin(u) cos(v) – cos(u) sin(v).
Tankegangen forudsætter, at 0° < v < u < 90°, men det kan vises, at resultatet holder i alle tilfælde.
Erstattes v med –v, finder vi
sin(u + v) = sin(u) cos(–v) – cos(u) sin(–v) =
sin(u) cos(v) + cos(u) sin(v).
Erstattes i stedet u med 90° – u, finder vi
sin(90° – u – v) = sin(90° – u) cos(v) – cos(90° – u) sin(v) eller
cos(u + v) = cos(u) cos(v) – sin(u) sin(v).
Erstattes her v med – v, finder vi
cos(u – v) = cos(u) cos(–v) – sin(u) sin(–v) = cos(u) cos(v) + sin(u) sin(v).
Disse 4 formler kaldes traditionelt additionsformlerne
For tan finder vi (ved at forkorte med cos(u) cos(v))
| tan(u + v) = | sin(u + v) cos(u + v) |
= | sin(u) cos(v) + cos(u) sin(v) cos(u) cos(v) – sin(u) sin(v) |
= | tan(u) + tan(v) 1 – tan(u) tan(v) |
. |
Sætter vi u = v, får vi formlerne for "den dobbelte vinkel"
| tan(2v) = | 2 tan(v) 1 – tan2(v) |
. |
Her er additionsformlerne vist v.h.a. vektorregning. ♦
Ved addition og subtraktion af additionsformlerne får vi
| Sætter vi u + v = x og u – v = y er u = | x + y 2 |
og v = | x – y 2 |
, og vi får |
De logaritmiske formler
| cos(x) + cos(y) = 2 cos | ( | x + y 2 |
) | cos | ( | x – y 2 |
) |
| cos(x) – cos(y) = –2 sin | ( | x + y 2 |
) | sin | ( | x – y 2 |
) |
| sin(x) + sin(y) = 2 sin | ( | x + y 2 |
) | cos | ( | x – y 2 |
) |
| sin(x) – sin(y) = 2 cos | ( | x + y 2 |
) | sin | ( | x – y 2 |
) | . |
Regnemaskinen beregner summen af de 12 første led af
rækkerne for
sin og cos.| lim x→0 |
sin(x) x |
= 1 |
|---|
Figuren forestiller en enhedscirkel med centrum A. x er buen ∪EB. Af figuren ses, at for "små" x - værdier gælder, at arealet af ΔABE er mindre end cirkeludsnittet ABE, som er mindre end arealet af ΔADE. Det giver
|
| cos(x) < | sin(x) x |
< 1 . |
Af 0 < |sin(x)| <
|x| slutter vi, at
0 < sin2(x) = 1 – cos2(x) = (1 – cos(x))(1 + cos(x)) < x2.
For "små" x-værdier er cos(x) > 0, så
0 < 1 – cos(x) < x2. Det viser, at
lim x→0 |
cos(x) = 1 , så cos(x) er kontinuert i x = 0 og dermed | lim x→0 |
sin(x) x |
= 1 | . |
| Her er grafen for | sin(x) x |
. |
For at vise, at sin(x) og cos(x) er kontinuerte funktioner, benytter vi de logaritmiske formler
| sin(x) – sin (x0) | = 2 cos | ( | x+x0 2 |
) | sin | ( | x–x0 2 |
) | = cos | ( | x+x0 2 |
) | sin((x–x0)/2) (x – x0) / 2 |
(x – x0) og |
| cos(x) – cos (x0) | = –2 sin | ( | x+x0 2 |
) | sin | ( | x–x0 2 |
) | = –sin | ( | x+x0 2 |
) | sin((x–x0)/2) (x – x0) / 2 |
(x – x0) | . |
Da både sin(x) og cos(x) er begrænsede til intervallet [–1; 1] og
lim x→x0 |
sin(x–x0) x–x0 |
= | lim x→0 |
sin(x) x |
= 1 , ser vi, at parentesen (x – x0) sikrer, at |
lim x→x0 |
[sin(x) – sin(x0)] = | lim x→x0 |
[cos(x) – cos(x0)] = 0, så begge funktioner er kontinuerte. |
| For at vise, at f(x) = sin(x) er differentiabel, ser vi på differensbrøken | sin(x) – sin (x0) x – x0 |
, |
| idet vi benytter den logaritmiske formel sin(u) – sin (v) = 2 cos | ( | u + v 2 |
) | sin | ( | u – v 2 |
) | . |
| sin(x) – sin (x0) x – x0 |
= | 2 cos((x+x0)/2) sin((x–x0)/2) x – x0 |
= cos | ( | x+x0 2 |
) | sin((x–x0)/2) (x – x0) / 2 |
. |
Ved grænseovergangen x → x0 er der to grænseværdier i spil
| lim x→x0 |
cos | ( | x+x0 2 |
) | = cos(x0) | , da vi ved, at cos er kontinuert |
| lim x→x0 |
sin((x–x0)/2) (x – x0) / 2 |
= | lim x→0 |
sin(x) x |
= 1 | . |
Konklusionen er, at
lim x→x0 |
sin(x) – sin (x0) x – x0 |
= cos(x0) | , så sin(x) er differentiabel, og sin'(x) = cos(x). |
| Af cos(x) = sin( | π 2 |
– x) fås ved sammensat differentiation, at cos(x) er differentiabel, og |
| cos'(x) = [sin( | π 2 |
– x)]' = cos( | π 2 |
– x)(–1) = –sin(x). |
| tan'(x) = 1 + tan2(x) = | 1 cos2(x) |
|---|
Da både sin(x) og cos(x) er vist differentiable, er (ifølge brøksætningen) tan(x) differentiabel, og
| tan'(x) = | ( | sin(x) cos(x) |
) | ' |
= | cos(x)·cos(x) + sin(x)·sin(x) cos2(x) |
= 1 + tan2(x) = | 1 cos2(x) |
. |
|
Funktionen sin(x), x ∈ R er priodisk, og har derfor ingen omvendt funktion, men hvis vi indskrænker definitionsmængden til intervallet [–½π ; ½π], er funktionen voksende. Dens omvendte funktion kaldes sin–1(x) eller asin(x). (Betegnelsen sin–1(x) er uheldig, fordi den kan forveksles med 1/sin(x). Men den er slået igennem på de fleste lommeregnere). Funktionen cos(x), x ∈ R er priodisk, og har derfor ingen omvendt funktion, men hvis vi indskrænker definitionsmængden til intervallet [0 ; π], er funktionen aftagende. Dens omvendte funktion kaldes cos–1(x) eller acos(x). Funktionen tan(x) er priodisk, og har derfor ingen omvendt funktion, men hvis vi indskrænker definitionsmængden til intervallet ]–½π ; ½π[, er funktionen voksende. Dens omvendte funktion kaldes tan–1(x) eller atan(x). |
| Sætter vi y = sin(x) er x = sin–1(y) og cos(x) = | √ |
1 – sin2(x) |
= | √ |
1 – sin2(sin–1(y)) |
eller |
| cos(sin–1(y)) = | √ |
1 – y2 |
, som forestiller den øverste halvdel af enhedscirklen. |
Havde vi valgt monotoniintervallet [½π ; 3/2π], hvor sin(x) er aftagende, ville
| cos(sin–1(y)) = – | √ |
1 – y2 |
, som forestiller den nederste halvdel af enhedscirklen. |
| På tilsvarende måde kan man vise, at sin(cos–1(y)) = | √ |
1 – y2 |
. ♦ |
Da vinklerne sin–1(x) og cos–1(x) ligger symmetrisk om linien y = x, er sin–1(x) + cos–1(x) = ½π. ♦
For at få en vigtig formel, kan vi tage udgangspunkt i additionsformlen for tan(2v) og sætte tan(v) = y
| tan(2v) = | 2 tan(v) 1 – tan2(v) |
eller | tan(2 tan–1(y)) = | 2 y 1 – y2 |
eller | 2 tan–1(y) = tan–1( | 2 y 1 – y2 |
) . |
| Sætter vi her x = | 2 y 1 – y2 |
, får vi andengradsligningen x y2 + 2y – x = 0 , hvoraf y = | √(x2+1) – 1 x |
. |
| Vi har nu formlen tan–1(x) = 2 tan–1( | √(x2+1) – 1 x |
) . ♦ |
| Af tan(v) = | sin(v) cos(v) |
= | sin(v) √(1 – sin2(v)) |
, får vi med x = sin(v), v = sin–1(x) = tan–1( | x √(1 – x2) |
). ♦ |
|
Graferne for sin(x) og sin–1(x) ligger symmetrisk om linien y = x. I intervallet ]– ½π ; ½π[ er sin'(x) = cos(x) > 0, så sin - grafen har tangenter med hældningskoefficienter > 0. Det medfører, at den spejlede graf (for sin–1) også har tangenter, så sin–1(x) er differentiabel i intervallet. Ved sammensat differentiation finder vi |
| (sin–1(x))' = asin'(x) = | 1 cos(sin–1(x)) |
= | 1
|
|
Graferne for cos(x) og cos–1(x) ligger symmetrisk om linien y = x. I intervallet ]0 ; π[ er cos'(x) = –sin(x) < 0, så cos - grafen har tangenter med hældningskoefficienter < 0. Det medfører, at den spejlede graf (for cos–1) også har tangenter, så cos–1(x) er differentiabel i intervallet. Ved sammensat differentiation finder vi |
| (cos–1(x))' = acos'(x) = | –1 sin(cos–1(x)) |
= | –1
|
|
Graferne for tan(x) og tan–1(x) ligger symmetrisk om linien y = x. I intervallet ]–½π ; ½π[ er tan'(x) = 1 + tan2(x) > 0, så tan - grafen har tangenter med hældningskoefficienter > 0. Det medfører, at den spejlede graf (for tan–1) også har tangenter, så tan–1(x) er differentiabel i intervallet. Ved sammensat differentiation finder vi |
| (tan–1(x))' = atan'(x) = | 1 1 + tan2(tan–1(x)) |
= | 1 1 + x2 |
. ♦ |
For at finde en berømt rækkeudvikling af tan–1(x) omskriver vi for x2 < 1
| 1 1 + x2 |
= | 1 + x2 – x2 1 + x2 |
= 1 – x2 | 1 1 + x2 |
= 1 – x2( | 1 – x2 | 1 1 + x2 |
) = |
| 1 – x2 + x4( | 1 – x2 | 1 1 + x2 |
) = 1 – x2 + x4 – x6 + ... |
tan–1(x) er den stamfunktion, der indeholder punktet (0, 0)
| tan–1(x) = x – | x3 3 |
+ | x5 5 |
– | x7 7 |
+ | x9 9 |
– | x11 11 |
+ ... ♦ |
| Da tan–1(1) = | π 4 |
, er π = 4 tan–1(1) = 4(1 – | 1 3 |
+ | 1 5 |
– | 1 7 |
+ | 1 9 |
– | 1 11 |
+ ... ). |
Regnemaskinen beregner summen af de n første led af rækken for
π.Algoritmen ovenfor er smuk; men kun effektiv, hvis x er "lille". Ønskes f.eks. en værdi, der er korrekt på 3. decimal, må man ofte medtage over 1000 led i rækken. For at få en bedre algoritme, kan vi tage udgangspunkt i formlen
| tan–1(x) = 2 tan–1( | √(x2+1) – 1 x |
) . |
| Ideen er nu, at erstatte x med | √(x2+1) – 1 x |
n gange, indtil abs(x) < 0.1 , |
hvorefter rækkeudviklingen benyttes. Herefter giver n fordoblinger resultatet.
|
Regnemaskinen udfører algoritmen. Ændr værdien af x og klik uden for boksen |
| Når tan–1(x) er kendt, kan sin–1(x) = tan–1( | x √(1 – x2) |
) benyttes. |
[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]