Denne
regnemaskine omformer rationale udtryk v.h.a.
kædebrøker.Indtast udtrykket (blandede tal skrives med '+') og klik på Kør.
Tal er matematikkens grundelementer. Vi deler dem i forskellige kategorier f.eks. hele, rationale og reelle tal.
Z: De hele tal deles op i:
- Hele positive tal N = Z+ = {1, 2, 3, 4, ...} også kaldet de naturlige tal
- Mængden bestående af tallet {0} og
- De hele negative tal Z- = {... –3, –2, –1}.
På alle sprog findes ord for (de første) naturlige tal. Derimod er nullet og de negative tal først kommet sent ind i kulturhistorien.
Q: De Rationale tal er tal, der kan skrives som en
brøk med et helt tal i tæller og et helt tal ¹ 0 i nævner.
For eksempel er 22/7 og –1½ rationale tal.
Da alle hele tal kan skrives som brøk (7 = 7/1), er alle hele tal også rationale.
Denne
regnemaskine omformer rationale udtryk v.h.a.
kædebrøker.
Indtast udtrykket (blandede tal skrives med '+') og klik på Kør.
R: De Reelle tal omfatter alle tænkelige tal.
Både hele og rationale tal er med i mængden af reelle tal.
Det er ofte nyttigt at forestille sig tallene repræsenterede ved punkter på en tallinie. Til hvert punkt på tallinien svarer netop ét tal og omvendt.
C: Et Komplekst tal er et talpar (a, b), hvor a(realdelen) og b(imaginærdelen) er reelle.
Der gælder særlige regneregler for komplekse tal.
Her er komplekse tal behandlet.
Rækkefølge
I udtryk uden parenteser udføres multiplikation (gange) og division før
addition (sammenlægning) og subtraktion.
Vi anvender parenteser, når operationerne skal udføres i en anden
rækkefølge.
Eks: 2 + 3 · 4 = 14 , (2 + 3) · 4 = 20.
Parenteser
Vi skelner mellem
minus-parenteser –4(3 – 2) = –(12 – 8) = –12 + 8
plus-parenteser 4(3 – 2) = (12 – 8) = 12 – 8
Bemærk, at (–3)2 = (–3)·(–3) = 9 ,
mens –32 = –3·3 = –9.
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
(a – b)2 = a2 + b2 – 2ab
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Algebra
a + b = b + a
ab = ba .
Potensregneregler (a er positiv og r og s er
vilkårlige reelle tal)
ar · as = ar+s
ar / as = ar–s
(ar)s = ars
a0 = 1 og a–r = 1 / ar
a1 / r = r√a
Ligningen xr = a har løsningen x =
r√a
Logaritmer (a og b er positive og r er vilkårligt reelt tal)
log(1) = 0, log(10) = 1, o.s.v.
log(a . b) = log(a) + log(b)
log(a / b) = log(a) – log(b)
log(ar) = r · log(a)
Alle målinger er behæftede med usikkerhed. Siger vi om en længde, at den er 17 m, mener vi, at den ligger mellem 16.5 og 17.5 m. Siger vi derimod, at længden er 17.0 m, mener vi, at den ligger mellem 16.95 og 17.05 m.
Usikkerheden på et tal kan altså aflæses af antallet af betydende
ciffre (abc) i tallet.
abc(17) = 2, abc(17.0) = 3, abc(100) = 1, abc(1.00 102) = 3.
Tal, der ikke er resultatet af en måling (tælletal, π, √2) har "uendelig mange" betydende ciffre.
Regnemaskinen beregner antallet af
betydende ciffre i et decimaltal.Er et tal resultatet af en multiplikation eller division af målte værdier, er dets nøjagtighed højest lig nøjagtigheden af det dårligst bestemte tal. (En kæde er ikke stærkere end dens svageste led). Vi formulerer følgende tommelfingerregel
Vi må vænne os til, at den samme talstørrelse kan skrives på forskellige måder. F.eks. betyder romertallet XXIII og arabertallet 23 det samme. I modsætning til romertal er arabernes talssystem et positionssystem.
Mennesket er udstyret med 10 fingre, hvilket slår igennem i vor måde at skrive
tal.
Nå vi skriver f.eks. tallet 23, er det underforstået, at vi mener
2 · 10 + 3, idet vi lægger 10 - tal systemet til grund. Det hænger
sammen med, at vi udtrykker tal ved hjælp af de 10 talsymboler 0, 1, ... , 9.
Når vi kan nøjes med dem, skyldes det, at et ciffer f.eks. 2 kan betyde
2, 20, 200, o.s.v. alt efter, hvor det står i tallet. Vort sædvanlige talsystem
har grundtallet g = 10.
Tallet anan–1 ... a1a0 betyder
altså an10n + an–110n–1 +
... + a1101 + a0.
Det er let at se hvordan systemet udvides til at omfatte decimalbrøker.
Kan der være tvivl om, hvilket system, man er i, bruger vi skrivemåden
(23)10.
Vi er så vant til 10 - tal systemet, at vi kan tro, det er det eneste,
men sproget indeholder faktisk rester af andre systemer:
Kl. halv syv skrives 6 30 eller 6 timer 30 minutter, hvilket betyder
(6 30)60 = (6.5)10. Vi slæber til denne dag rundt på
et treethalvttusind år gammelt babylonsk
60-tal system. (Minut er latin for "lille" og sekund betyder "den anden").
Talordet "halvtreds" betyder "halvtredie snese", hvilket er gammelt dansk for
"to en halv gange tyve". Vi ser her rester af et gammelt nordisk talsystem med grundtallet 20.
Mon man dengang gik med bare tæer ?
Tallet (anan–1 ... a1a0)g betyder angn + an–1gn–1 + ... + a1g1 + a0.
 |
I 1679 beskrev matematikeren
Gottfried Wilhelm von Leibniz
(opfinder af differential- og integralregningen) et talsystem med kun to symboler 0 og 1.
Det kaldes det binære system, og det spiller en stor rolle i computer science. Tallet 11010 i det binære system er det samme som 1·24 + 1·23 + 0·22 + 1·21 + 0·20 = 16 + 8 + 2 = 26 i vort sædvanlige talsystem. Vi skriver (11010)2 = (26)10. |
| I det binære system er regnereglerne |
|
og |
|
, |
idet (10)2 = (2)10. Vi ser, at regnereglerne er simple. Til gengæld er tallene lange (i gennemsnit godt 3 gange så lange som i 10-tal systemet).
 |
Moderne computere anvender ikke kun det binære talsystem til talbehandling. Symbolerne 0 og 1 (eller ethvert tal > 0) betyder også henholdsvis falsk og sand. Vi ser på to udsagn A og B. Kombinationen A ∨ B betyder "enten A eller B", mens A ∧ B betyder "både A og B". |
|
som sammenlignes med |
|
De almindelig regneoperationer (+ ·) kan altså anvendes til at beregne sandhedsværdien af logiske udtryk.
Er grundtallet g > 10, er der tradition for at forlænge rækken af ciffre med bogstaver fra alfabetets begyndelse. I 16 - systemet er de mulige ciffre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f.
Regnemaskinen regner om fra 10-tal systemet til g-tal systemet.
Ændr grundtallet g eller tallet Tal10 og klik uden for boksen.
Regnemaskinen regner om fra g-tal sytemet til 10-tal systemet.
Ændr grundtallet g eller tallet Tal10 og klik uden for boksen.
Når vi i dag ved så forholdsvis meget om den gamle Sumerisk - Babylonske kultur, skyldes det, at man dengang brugte at skrive på plader af blødt ler (lertavler) med en kileformet pind. Pinden havde et spidst og et stumpt hjørne, så en plade kunne præges med tegnene I og <. Skriftsproget bestod af tegn for stavelser (ikke enkeltlyde som hos os). Nå en tavle var skrevet færdig, blev den brændt hård i en ovn. Det er grunden til, at så mange tavler er bevarede.
Til matematik anvendte man et talsystem (seksagesimalsystemet) med to grundtal 10 og 60. Tallene blev skrevet på lertavlen i grupper at kileskriftkombinationer. Tegnene for 1 og 10 var en smal lodret kile og en vinkel: I <. Hver gruppe kunne repræsentere et tal mellem 1 og 59. <<III <<< betyder 23 · 60 + 30 = 1410 eller 23 + 30 / 60 = 23.5 eller ..., idet man ikke havde et decimalskilletegn. Man havde heller ikke et tegn for 0, så man anvendte et stort mellemrum mellem blokkene. Rester af dette talsystem kan den dag i dag findes i vor opdeling af 1 time i 60 minutter (betyder "små") á 60 sekunder (betyder "den anden").
 |
 |
Yale - tavlen (YBC 7289) på billedet forestiller et kvadrat med siden 30. Langs diagonalen står to tal 1,24,51,10 og 42,25,35. Da 1 / 30 = 2 er 42,25,35 / 30 = 42,25,35 · 2 = 1,24,51,10, så 1,24,51,10 = 1.414212963 er babyloniernes værdi for Ö2 (den moderne værdi er 1.414213562, så fejlen er 0.00004%). |
Man kan undre sig over, hvordan man dengang (uden en kvadratrodsalgoritme) kunne finde en så god værdi. En metode kunne være:
I den sidste gennemsnitsberegning af 1,25 og 1,24,42,21 har man afrundet til 1,24,51,10.
Regnemaskinen regner om mellem 10-tal sytemet og det babylonske system.
Ændr tallet og klik uden for boksen.
Her er et lille "tændstikspil",
som går ud på at tvinge maskinen til at tage den sidste tændstik fra en bunke.
Du skiftes med maskinen til at tage fra bunken, så mange du vil op til max.
Start med at vælge Max og klik uden for boksen. Derefter tager du et antal
tændstikker fra bunken.
[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]