Studyguides til Matematik

• Studyguide til Matematik B af John Valentin Mikkelsen
• Studyguide til Matematik A

Studyguide til Matematik C

Oversigt

Denne study guide indeholder følgende afsnit

• Generel introduktion
• Emnelisten
• Eksamen
• Download studyguiden i rtf - format

Materialer
Du skal bruge
-   En lærebog til matematik C (fællesfag)
-   Matematiklærerforeningens opgavesamling
-   En tabelsamling med rentetabeller og tabeller over binomialfordelinger
-   Matematisk formelsamling for HF fællesfag
-   En lommeregner

Lommeregner
En lommeregner (helst en grafikregner) er en nødvendighed. Den skal som et minimum have kvadratrod, sinus, cosinus, tangens, logaritmen, deres omvendte samt y^x (eller tilsvarende). Ældre modeller giver den ulempe, at du i nogle tilfælde skal indtaste "baglæns". På sådanne maskiner beregnes kvadratroden af 147 ved at taste 147√. På nyere modeller og grafikregnere tastes √ (147) lige som man skriver. Under alle omstændigheder bør du gøre dig fortrolig med din regner, så maskin-problemer ikke giver støj under indlæringen af matematikken. Vær især opmærksom på brugen af parenteser, når der regnes med brøker.

Forudsætninger
Inden du går i gang med pensum til Matematik C, er det en god ide at du sikrer dig, at du har forudsætningerne i orden. Det drejer sig om fortrolighed med reglerne for regning med brøker, parenteser, kvadratrødder og lignende. Disse emner indgår ikke i pensum for Matematik C. Alligevel medtager mange lærebøger til Matematik C et afsnit til opfriskning af disse forudsætninger. Slår det ikke til, vil din kontaktperson sikkert gerne henvise til supplerende materiale.

Andre råd
De fleste har fordel af at finde en læsemakker. Sidder du alligevel fast i stoffet, tilbyder mange skoler et værksted, hvor man kan få hjælp. De fleste lærebøger har et opgaveafsnit med programmerede opgaver (opgaver med svar). Regn så mange af dem, at du føler dig tryg.

Indledning
Denne guide er bygget op efter følgende princip.
Til hvert emne er der en beskrivelse af
- "Hvad skal jeg vide"
- "Hvad skal jeg kunne"
Mundtlig eksamen vedrører væsentligst "Hvad skal jeg vide".
Det meste er omtalt i formelsamlingen.
Vigtigt. Af punkterne under "Hvad skal jeg vide" skal du kunne begrunde nogle. Andre kan du nøjes med at omtale. Det er op til dig at vælge, hvilke du vil argumentere for.
Skriftlig eksamen handler tilsvarende om "Hvad jeg skal kunne". Det væsentligste er listet i det følgende. Men i den sidste ende er det de opgaver, der har været givet til eksamen, der fastlægger pensum.

Funktioner

Først et udsnit af bekendtgørelsen
ad 4) Funktioner: En funktion beskriver den sammenhæng, der er mellem den uafhængige og den afhængige variabel. Denne sammenhæng kan fastlægges på forskellige måder, og behandlingen skal omfatte funktioner, der er fastlagt ved en regneforskrift, ved tabel, ved graf samt ved algoritme indbygget fx i en lommeregner. Specielt skal funktionerne med forskrifterne kvadratrod x, x², 1/x og log(x) behandles. Under funktioners monotoniforhold behandles begreberne voksende og aftagende funktion samt begreberne største- og mindsteværdi for en funktion. I forbindelse med koordinatsystemer arbejdes også med eksempler på koordinatsystemer med forskudte akser og med koordinatsystemer med forskellige akseenheder. Ved behandling af de lineære funktioner og de eksponentielt voksende/aftagende funktioner skal deres udstrakte rolle som beskrivelsesmiddel ved mange i praksis forekommende problemstillinger understreges. Forskrifterne ax+b og b · a^x behandles, og de indgående konstanters betydning diskuteres. I forbindelse med eksponentiel vækst behandles endvidere begreberne fordoblings- og halveringskonstant.

Funktioner generelt

"Hvad skal jeg vide."

1. En funktion f beskriver sammenhængen mellem den afhængige variable (2-koordinaten) og den uafhængige variable (1-koordinaten). 2-koordinaten er en funktion af 1-koordinaten. Man skriver ofte f(x) for f’s værdi eller billede, når 1-koordinaten har værdien x.
2. En funktions definitionsmængde Dm(f) består af de "lovlige" 1-koordinater.
3. En funktions værdimængde Vm(f) består af de 2-koordinater, der svarer til 1-koordinaterne i definitionsmængden.
4. En funktion har én og kun én værdi (2-koordinat) svarende til én 1-koordinat i funktionens definitionsmængde.
Grafen for en funktion er mængden af punkter (x, f(x)), hvor x ligger i funktionene definitionsmægde.

"Hvad skal jeg kunne.

1. Afgøre hvem der er "den uafhængige variable" d.v.s. 1-koordinaten, og hvem der er "den afhængige variable" d.v.s. 2-koordinaten.
2. Tegne grafen for en funktion, der er givet ved en regneforskrift eller en tabel.
3. Finde en funktions definitions- og værdimængder ud fra dens graf. Finde funktionens monotoniintervaller.
4. Løse ligninger og uligheder af formen f(x) = g(x) og f(x) < g(x) grafisk og for lineære eller eksponentielle funktioner ved beregning.

Lineære funktioner

"Hvad skal jeg vide."

1. En funktion kaldes lineær, hvis dens graf i et sædvanligt koordinatsystem er (en del af) en ret linie.
2. Lineære funktioner har regneforskrifter af form f(x) = ax + b , hvor a og b er tal.
3. Tallet a kaldes grafens hældningskoefficient eller stigningstal.
4. Tallet b er 2-koordinaten til grafens skæringspunkt med 2-aksen d.v.s. f(0) = b.
5. Indeholder grafen punkterne (x₁, y₁) og (x₂, y₂) , kan a beregnes af (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁).
6. Har grafen hældningskoefficienten a , og ligger (x₁, y₁) på grafen, kan b beregnes af b = y₁ – ax₁.

"Hvad skal jeg kunne."

1. Afgøre, om 3 punkter ligger på samme rette linie, ved at beregne og sammenligne 2 hældningskoefficienter.
2. Finde regneforskriften for en lineær funktion, hvis graf indeholder punkterne (x₁, y₁) og (x₂, y₂).
3. Finde regneforskriften for en lineær funktion, ud fra dens graf i et koordinatsystem.
4. Har funktionen forskriften f(x) = ax + b , skal du kunne finde y når x er kendt og finde x når y er kendt.
5. Har funktionen forskriften f(x) = ax + b , skal du kunne tegne dens graf i et sædvanligt koordinatsystem.

Eksponentielle funktioner

"Hvad skal jeg vide."

1. En funktion kaldes eksponentiel, hvis dens graf i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem er (en del af) en ret linie.
2. Eksponentielle funktioner har regneforskrifter af form f(x) = b a^x , hvor a og b er positive tal.
3. Tallet a kaldes funktionens fremskrivningsfaktor. a = 1 + r , hvor r er vækstraten.
4. Tallet b er 2-koordinaten til grafens skæringspunkt med 2-aksen d.v.s. f(0) = b.
5. Indeholder grafen punkterne (x₁, y₁) og (x₂, y₂) , kan a beregnes af a = ^x₂–x₁√(y₂ / y₁) .
6. Har funktionen fremskrivningsfaktoren a , og ligger (x₁, y₁) på grafen, kan b beregnes af b = y₁ / a^x₁.
7. En voksende eksponentiel funktion har en fordoblingskonstant T₂ , en aftagende har halveringskonstant T_½ . T₂ = log(2) / log(a) og T_½ = log(½) / log(a).

"Hvad skal jeg kunne."

1. Finde regneforskriften for en eksponentiel funktion, hvis graf indeholder punkterne (x₁, y₁) og (x₂, y₂).
2. Har funktionen en forskrift af formen f(x) = b a^x , skal du kunne finde y, når x er kendt og finde x, når y er kendt.
3. Har funktionen en forskrift af formen f(x) = b a^x, skal du kunne tegne dens graf i et sædvanligt og i et halvlogaritmisk koordinatsystem.
4. Finde a ud fra T₂ eller T_½ og omvendt.
5. Finde T₂ eller T_½ ud fra grafen i et halvlogaritmisk koordinatsystem.
6. Løse eksponentielle ligninger af formen b ·a^x = c

Matematiske modeller

"Hvad skal jeg vide."

1. En matematisk model af "noget" fra virkeligheden er et stykke matematik, der gengiver "de væsentligste" sider af "noget".

"Hvad skal jeg kunne."

1. Tage stilling til om der gælder en med tilnærmelse lineær eller eksponentiel sammenhæng mellem to størrelser ved at plotte i henholdsvis almindelige og halvlogaritmisk koordinatsystem og tegne den rette linie, der bedst beskriver punkterne (bedste rette linie).
2. Finde regneforskriften for modellen ved at aflæse punkter på den bedste rette linie i koordinatsystemet.

Procentregning

Indeholder ifølge bekendtgørelsen
Procentregning; gennemsnitlig procent, indekstal, vejet gennemsnit. Rentesregning; opsparings- og gældsannuitet.

"Hvad skal jeg vide."

1. Fremskrivningsfaktoren beregnes af a = slutværdi / begyndelsesværdi .
2. Vækstraten findes af fremskrivningsfaktoren ved r = a – 1.
3. Den gennemsnitlige vækstrate r af raterne r₁, r₂, ... , r_n bestemmes af r = ⁿ√[(1 + r₁)(1 + r₂) ... (1 + r_n)]
4. Et index I for "noget" fra virkeligheden er I_år = 100 · årets værdi / basisårets værdi .
5. Det vejede gennemsnit af størrelserne s₁, s₂, ... s_n med vægtene v₁, v₂, ... , v_n er s_gennemsnit = s₁v₁ + s₂v₂ + ... + s_nv_n.

"Hvad skal jeg kunne."

1. Kende forskel på fremskrivningsfaktor og vækstrate.
2. Beregne den gennemsnitlige vækstrate af et antal rater.
3. Regne om mellem index og "virkelighedens" værdier.
4. Regne Index om fra ét basisår til et andet.
5. Beregne én af størrelserne i s_gennemsnit = s₁v₁ + s₂v₂ + ... + s_nv_n ud fra de andre.
6. Anvende vejet gennemsnit i forbindelse med "blandede procenter".

Rentesregning

Bekendtgørelsen siger:
Procentregning omfatter fremskrivning med fast procent og renteformlen. Formler for opsparings- og gældsannuitet skal benyttes til beregning og/eller vurdering af de indgående størrelser.

"Hvad skal jeg vide."

1. En kapital K₀ sat på rente med rentefoden r i n terminer vokser til K_n = K₀(1+r)ⁿ. (renteformlen).
2. En annuitet er en opsparingsform, hvor et beløb b indsættes n gange på efterfølgende terminsdage til renten r . Lige efter sidste indbetaling er annuitetens værdi A_n = b · [(1 + r)ⁿ – 1] / r .
3. En gældsannuitet er en afbetaligsform, hvor gælden G_n afdrages med n ydelser y indbetalt på terminsdagen til renten r. Optages lånet på terminsdagen før første afdrag er G_n = y · [1 – (1 + r)^–n] / r .

"Hvad skal jeg kunne."

1. Hvis tre af størrelserne K₀ , K_n, r og n i renteformlen er kendte, skal du kunne finde den sidste.
2. Regne om fra f. eks. månedlig rente til årlig rente.
3. Hvis tre af størrelserne A_n, b, r og n i annuitetsformlen er kendte, skal du kunne finde den sidste (r dog kun med den nøjagtighed, rentetabellen giver).
4. Hvis tre af størrelserne G_n, y, r og n i formlen for gældsannuitet er kendte, skal du kunne finde den sidste (r dog kun med den nøjagtighed, rentetabellen giver).

GEOMETRI OG TRIGONOMETRI

I bekendtgørelsen læser vi
ad 3) Geometri og trigonometri: I forbindelse med trekanter omtales vinkelsum, højde og areal. Sammenhængen mellem sidernes længde i ensvinklede trekanter behandles. Beregning af sider og vinkler i retvinklet trekant omfatter sinus, cosinus og tangens samt den pythagoræiske læresætning.

"Hvad skal jeg vide."

1. Summen af vinklerne i enhver trekant er 180°.
2. Arealet af en vilkårlig trekant med højde h og grundlinie g er ½ · hg.
3. To trekanter kaldes ensvinklede, hvis deres vinkler er parvis ens.
4. I ensvinklede trekanter er siderne proportionale. D.v.s. er siderne i den ene a, b og c og de tilsvarende i den anden a₁ , b₁ og c₁ gælder a₁/a = b₁/b = c₁/c = k .
5. Hvordan sinus og cosinus til en spids vinkel er fastlagt enten ud fra en retvinklet trekant med hypotenuse 1 eller ud fra enhedscirklen.
6. At tangens til en spids vinkel er fastlagt ved tan(v) = sin(v) / cos(v) .
7. Med de sædvanlige betegnelser (a er kateten over for vinkel A , b ligger over for B . c er hypotenusen og C er ret) gælder sin(A) = a/c , cos(A) = b/c og tan(A) = a/b , og tilsvarende for vinkel B .
8. Med sædvanlige betegnelser gælder (den pythagoræiske sætning) a² + b² = c² eller a² = c² – b².

"Hvad skal jeg kunne."

1. Af areal, højde og grundlinie finde den ene, når de to andre er kendte.
2. Finde ukendte sider i ensvinklede trekanter ud fra kendte.
3. Ud fra en side samt en side eller vinkel i en retvinklet trekant finde resten.

Sandsynlighedsregning og statistik

Bekendtgørelsen siger:
ad 5) Sandsynlighedsregning og statistik: En diskret stokastisk variabel beskrives ved, hvilke værdier den kan antage samt sandsynlighederne for disse værdier. Kombinatoriske metoder medtages til illustration af formlen for K(n,r) med henblik på behandlingen af binomialfordelingen. Sandsynligheder i binomialfordelingen bestemmes ved beregning og ved hjælp af tabel over kumulerede sandsynligheder. I forbindelse med grupperede observationer behandles intervalhyppighed, intervalfrekvens og kumuleret frekvensfordeling. Grafiske beskrivelsesmidler omfatter histogram og sumkurve. Statistiske deskriptorer omfatter middeltal og fraktiler, herunder specielt median og øvrige kvartiler. Ved behandlingen af normalfordelte observationer skal der lægges vægt på at belyse, at sådanne optræder i mange forskelligartede situationer.

Sandsynlighedsregning

"Hvad skal jeg vide."

1. Et stokastisk eksperiment er et forsøg, hvor tilfældet spiller en rolle. Eksperimentet resulter i et antal udfald. Udfaldsrummet U er mængden af udfald.
2. Sandsynligheden p for et udfald er et tal-mål for vor forventning til, at udfaldet indtræffer. 0 ≤ p ≤ 1. Summen af udfaldenes sandsynligheder er 1.
3. Mængden af udfald og deres sandsynligheder kaldes sandsynlighedsfeltet.
4. Har alle n udfald samme sandsynlighed, kalde sandsynlighedsfeltet symmetrisk. p = 1/n.
5. En hændelse H er en (del-)mængde af eksperimentets udfald. Hændelsens sandsynlighed P(H) er summen af sandsynlighederne for de udfald, der indgår i hændelsen.
6. Er feltet symmetrisk, beregnes en hændelsens sandsynlighed af P(H) = (antal udfald i H) / (antal udfald i U) .
7. En stokastisk variabel X knytter tal til udfald og hændelser.
8. Middelværdien af X skrives E(X) eller μ. Den er et vægtet gennemsnit af X's værdier. μ = E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... + x_np_n .
9. K(n, r) er antallet af r-delmængder, der kan udtages af en n-mængde. K(n, r) = n! / [r!(n – r)!] , n! = n·(n–1)·(n–2) ... 2·1 , 0! = 1 .
10. En stokastisk variabel kaldes binomialfordelt, hvis den måler antallet af "gevinster" i en forsøgsrække på n ens forsøg, hvor sandsynligheden for "gevinst" i det enkelte forsøg er p.n kaldes antalsparameteren og p sandsynlighedsparameteren.
11. I det binomialfordelte tilfælde beregnes sandsynligheden for netop r "gevinster" i n forsøg af P(X = r) = K(n, r) · p^r (1 – p)^n–r .
12. En binomialfordelt stokastisk variabel har middelværdien μ = n · p .

"Hvad skal jeg kunne."

1. Tegne diagram for en given sandsynlighedsfordeling og finde sandsynlighedsfordelingen ud fra et diagram.
2. Beregne sandsynligheden for en hændelse ud fra sandsynlighederne for udfaldene.
3. Beregne sandsynligheder for at en stokastisk variabel antager forskellige værdier samt beregne dens middelværdi.
4. Afgøre, om en stokastisk variabel er binomalfordelt eller ej.
5. Beregne sandsynligheder f.eks. P(X = a) , P(X ≥ a) , P(X < a) og P(a < X < b) for en stokastisk variabel (evt. ved brug af tabel i det binomialfordelte tilfælde).

Statistik

"Hvad skal jeg vide."

1. Kende betydningen af begreberne hyppighed, frekvens og kummuleret hyppighed, kummuleret frekvens og middelværdi.
2. I et histogram illustrerer søjlernes arealer hyppigheder eller frekvenser.
3. Sumkurven for en fordeling er grafen for en ikke-aftagende funktion, hvor funktionsværdien af x er frekvensen (eller hyppigheden) af observationer op til og med x.
4. Ligger p% af fordelingen under eller på x₁, siges p%-fraktilen at ligge på x₁.
5. Medianen er 50%-fraktilen.
6. Kvartilsættet består 25%- , 50%- og 75%-fraktilerne (kvartilerne).
7. En fordeling kaldes normal, hvis dens sumkurve i sandsynlighedspapir (normalfordelingspapir) er (en del af) en ret linie.

"Hvad skal jeg kunne"

1. Gruppere observationer og lave et skema med hyppigheder og frekvenser.
2. Beregne en fordelings middelværdi.
3. Tegne histogram for en grupperet fordeling.
4. Lave skema over kumulerede hyppigheder og/eller frekvenser.
5. Tegne sumkurver for grupperede fordelinger.
6. Aflæse fraktiler (f.eks. kvartilsættet) ud fra sumkurven.
7. Tage stilling til om en fordeling er med tilnærmelse normal ved at plotte kumulerede frekvenser i et normalfordelingspapir.

Skriftlig eksamen

Praktiske forhold. Du har 4 timer i fred og ro til at regne sættet. Ud over madpakke og termoflaske medbringer du skrivemateriale, lommeregner og tabelsamling. Formelsamling og de forskellige papirtyper udleveres af skolen.

Gode råd:

• Læg en strategi, før du går i gang med detaillerne (med mindre det er fuldstændig oplagt, hvad man skal). Du gør det ved at
  • Læse hele opgaven igennem.
  • Afgøre, "hvilket kapitel i bogen, det handler om".
  • Understrege afgørende ord lineær, eksponentiel, annuitet, én gang om året, normalfordelt, ....
  • Kan du ikke finde det afgørende ord i teksten, skriver du det selv til.
• De færreste har glæde af at skrive en egentlig kladde. I stedet skrives besvarelsen løbende, når man føler sig sikker på, at de udregninger og opstillinger, man har på sit kladdepapir, er ok.
• Der er intet krav om blæk eller kuglepen. Men bruger du blyant, skal du skrive så tydeligt, at der ikke er tvivl om, hvad du mener. Pas på at trykke hårdt nok.
• Orden (d.v.s. opstilling og overskuelighed) spiller en rolle.
• Ofte letter figurer og skemaer læserens (og din egen) forståelse.
• Ved geometriske opgaver kan det være en fordel at tegne en delfigur, hvis opgaven handler om en kompliceret figur.
• Det er vigtigt, at dine begrundelser for dine påstande er med. Det er en god ide, at skrive "bogstaver før tal", d.v.s. skrive formlen, før du sætter tal ind.
  Ved aflæsning på en figur, skal du tegne hjælpelinier ind på figuren, så læseren kan følge tankegangen.
  Brug eventuelle bilag.

Mundtlig eksamen

Når man skal forberede sig til mundtlig eksamen, er det vigtigt, at man læser aktivt. D.v.s. at man læser "med blyant og papir".

En læsestrategi, der opfylder dette er:

1. Tag et antal A4-sider og skriv en overskrift på hvert af dem. Det kan f.eks. være titlen på et eksamensspørgsmål, man vil forberede sig på.
2. Når man vil repetere et afsnit i lærebogen, har man det relevante A4-ark ved siden af sig, og det handler nu om at fremstille et manuskript for, hvad man kunne tænke sig at sige, hvis man trækker pågældende spørgsmål. Mens man gennemarbejder afsnittet i lærebogen, tager man hele tiden stilling til, om det man netop læser, skal med i præsentationen. Denne vurdering af stoffets enkelte dele er en vigtig del af aktiv læsning. Beslutter man sig for, at det pågældende afsnit skal med i fremstillingen, formulerer man stoffet med egne ord på A4-arket. Det, at man sætter sit fingeraftryk på fremstillingen, er en vigtig del af aktiv læsning. Egne eksempler til belysning af stoffet indskrives i manuskriptet. Kun hvis man absolut ikke kan finde sine egne eksempler, benytter man bogens (det virker meget mere overbevisende, at kursisten selv har fundet eksempler frem evt. fra sin opgavesamling). Manuskriptet skal have et omfang svarende til ca. 20 minutters snak. Har man en tålmodig lillebror eller lignende, er det en god ide at afprøve manuskriptet ved at holde et foredrag for ham.
3. Under senere repetition og i forberedelsestiden før eksamen holder man sig i det helt væsentlige til sit manuskript. Det, at alle beslutninger er truffet på forhånd, giver ro i sjælen, når du sidder i forberedelseslokalet.

Der er ingen grund til at skjule, at denne form for aktiv læsning er betydelig mere krævende end læsning efter "diagonalmetoden" og/eller i hængekøjen. Til gengæld kaster det af sig i den forstand, at 1 times aktiv læsning let giver større udbytte end måske 4 timer af den sædvanlige slags.

Praktiske forhold. På eksamensdagen møder du op i god tid. Når du har trukket dit spørgsmål, skal læreren (eksaminator) sikre sig, at du har forstået spørgsmålet. Derefter følger han/hun dig til et stille lokale, hvor du har ca. 25 min. at forberede dig og skrive din disposition. En disposition er en kort oversigt over, hvad du vil sige, og hvilken rækkefølge du vil sige det i. Pas på ikke at skrive for mange "hårde facts" på din disposition. Indeholder dispositionen rigeligt mange formler, kan du blive bedt om at lægge dispositionen fra dig, så det er klart for censor, hvornår du henter oplysninger fra den.

Eksempel

Til mundtlig eksamen kan et spørgsmål være formuleret således:
Eksponentielle funktioner.
Fortæl om eksponentielle funktioner, deres regneforskrifter og deres grafer i et sædvanligt og et semilogaritmisk koordinatsystem.
Fortæl om halverings- og fordoblingskonstanter.
Vælg selv passende eksempler.

Her er Undervisningsministeriets bekendtgørelse for matematik.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]