Rentesregning
Rente er den belønning man får for at udskyde et forbrug, eller den pris man betaler for et fremskyndet forbrug.
Emner
- Generelt
- Kapitalfremskrivning
- Tilbageskrivning af kapital
- Gennemsnitlig vækstrate
- Opsparingsannuitet
- Gældssannuitet
Andet
Generelt
Rente og rentefod
Vi skelner mellem renten, som er beløbet og rentefoden, som er rentesatsen.
I eksemplerne regner vi med procenter på decimalform, så 4% skrives 0.04.
Skriv eller ret i et af felterne og klik uden for boksen.
Skema over de fire hovedtilfælde
| Èn gang for alle | Gentagne indbetalinger | ||||
| Fremskrivning Kn = K0· (1 + r)n Tilbageskrivning K0 = Kn· (1 + r)–n |
|
Kapitalfremskrivning
Når et beløb K0 har stået på rente ved rentefoden
r i 1 termin, beregnes renten af rente = K0· r.
Herefter er kapitalen vokset til K1 = K0 + K0· r = K0·
(1 + r).
Man siger, at fremskrivningsfaktoren pr. termin er 1 + r.
Efter yderligere 1 termin er kapitalen K2 = K1· (1 + r) = K0·
(1 + r)2.
Fortsættes denne proces i n terminer, fås renteformlen
- Kn = K0· (1 + r)n.
Ændr værdierne for K0 , r eller n og klik uden for boksen
Tilbageskrivning af kapital
Når man skal gange beløbet med (1 + r) for at gå 1 termin frem, må man skulle dividere med (1 + r) for at gå 1 termin tilbage.
Følgelig må man divider med (1 + r) n gange for at gå n terminer tilbage.
Dette giver tilbageskrivningsformlen
| K0 = |
Kn (1 + r)n |
= Kn· (1 + r)–n . |
Ændr værdierne for Kn , r eller n og klik uden for boksen.
Generel regnemaskine og grafik
Udtrykket Kn = K0 · (1 + r)n binder 4 størrelser sammen i en ligning. Hvis man kender de 3, kan den 4. beregnes. Ved fremskrivning er n positiv; ved tilbageskrivning negativ.
Regnemaskinen beregner værdien til højre
for den ændrede størrelse.Ændr værdierne for Kn , K0 , r eller n og klik uden for boksen
Grafikken viser en kapitals udvikling over tid.
Gennemsnitlig vækstrate
Ændres rentefoden mens pengene står på rente, giver det ingen mening at danne et sædvanligt
gennemsnit af rentesatserne.
I stedet må man spørge, hvor stor en konstant rentefod, der ville have bevirket den samme tilvækst.
Ifølge fremskrivningsformlen er
Kslut = Kbeg· (1 + r)n , hvoraf (1 + r)n = Kslut / Kbeg eller
| r = | n |
√ | Kslut Kbeg |
– 1. |
Ændr værdierne for Kbeg , Kslut eller n og klik uden for boksen.
Er væksten resultatet af fremskrivninger med raterne r1, ... , rn
er den samlede fremskrivningsfaktor
(1 + r)n = (1 + r1) · (1 + r2) · ...
· (1 + rn), hvoraf
| r = | n |
√ |
(1 + r1) · (1 + r2) · ... · (1 + rn) |
– 1 . |
Denne regnemaskine giver dig gennemsnittet af
nogle rentefødder.
Indtast værdierne for ri (decimaltal) og klik på Næste.
Middelrentefoden r af rentefødderne r1 og r2 beregnes af r = √[(1 + r1) · (1 + r2)] – 1.
Regnemaskinen beregner værdien til højre for den ændrede størrelse.Ændr værdierne for r1 , r2 eller r og klik uden for boksen
Sammenhængen mellem rentefoden i 1 og n terminer
Fremskriver man n gange med fremskrivningsfaktoren 1 + r1, bliver den samlede fremskrivningsfaktor 1 + rn = (1 + r1)n.
| rn = (1 + r1)n – 1 , r1 = | n |
√ |
1 + rn |
– 1 . |
Regnemaskinen regner om mellem r1 og rn.Ændr værdien af r1 eller rn (decimaltal) og klik uden for boksen
Annuitet
En annuitet er en opsparingsform, hvor der n terminsdage i træk sættes b
kr på rente ved rentefoden r. Lige efter sidste indbetaling er opsparingens værdi An.
An beregnes af annuitetsformlen
| An = b · |
(1 + r)n – 1 r |
Et bevis for formlen findes her.
Ændr værdierne for b , r eller n og klik uden for boksen
Ønsker man i stedet at beregne b ud fra de andre størrelser, bruges formlen
| b = An· |
r (1 + r)n – 1 |
Ændr værdierne for An , r eller n og klik uden for boksen
Skal r bestemmes, kan man bruge denne regnemaskine.
Ændr værdierne for An , b eller n og klik uden for boksen
n kan også findes ved at omforme annuitetsligningen til
| (1 + r)n = |
An · r b |
+ 1 , |
og derefter bruge logaritmer
| n = |
log(An · r / b + 1) log(1 + r) |
. |
Gældsannuitet
Et låns hovedstol H er gældsbeløbet inden afbetalingerne begynder. Gælden kan afdrages med et antal ydelser y, som dækker både rente og afdrag.
Indtast værdierne for H , y og rentefod r og klik på beregn,
En gæld kan afvikles ved at man n terminsdage i træk betaler ydelsen y, der dækker både renter og afdrag. Er gælden optaget på en terminsdag og afviklingen begynder næste terminsdag, kan gælden beregnes af gældsformlen
| Gn = y · |
1 – (1 + r)–n r |
Et bevis for formlen findes her.
Ændr værdierne for y , r eller n og klik uden for boksen,
Ønsker man i stedet at beregne y ud fra de andre størrelser, bruges formlen
| y = Gn · |
r 1 – (1 + r)–n |
Ændr værdierne for Gn , r eller n og klik uden for boksen,
Skal r bestemmes, kan man bruge følgende regnemaskine.
Ændr værdierne for Gn , y eller n og klik uden for boksen,
Beviser
Annuitetsformlen
Vi vil bevise annuitetsformlen med en teknik, der kaldes induktion.
| An = b · | (1+r)n – 1 r |
. |
For n = 1 (kun 1 indbetaling) giver formlen: A1 = b,
hvilket er korrekt. Formlen stemmer altså for n = 1.
Vi leger nu, at nogen har garanteret os, at formlen holder for f.eks. n = 17
| A17 = b · | (1+r)17 – 1 r |
. |
Går vi ydereligere 1 termin frem, skal A17 fremskrives, og der skal betales b kr.
| A18 = A17· (1+r) + b = b · | (1+r)17 – 1 r |
· (1+r) + b . |
Sættes b / r uden for parentes, fås
| A18 = | b r |
· [[(1+r)17 – 1] · (1+r) + r] = | b r |
· [(1+r)18 – (1+r) + r] = | b r |
· [(1+r)18 – 1], |
På tilsvarende måde kan man argumentere for, at hvis formlen holder for n = 123, holder den også for n = 124. Holder den for én n-værdi, holder den også for den næste n-værdi. Men vi så før, at den holdt for n = 1. Altså holder den også for n = 2 o.s.v, som når en stribe dominobrikker vælter hinanden.
Gældsformlen
Når man afdrager en gæld med n
lige store ydelser y, er værdien af ydelserne
Kn, når gælden er afviklet,
hvor Kn beregnes af annuietsformlen.
Men gælden blev optaget n terminer tidligere,
så gældens værdi Gn fremskrevet
n terminer er lig med Kn.
Vi har altså Gn = Kn / (1 + r)n, eller
| Gn = | y r |
· | (1 + r)n – 1 (1 + r)n |
= | y r |
· [1 – (1 + r)–n] |
[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]