Relativitetsteori

I klassisk fysik betragtes lys som bølger. Både brydningsloven og lys' interferens forklares let ud fra lysets bølgenatur. Men ingen kan forstille sig en bølge uden et medie, bølgebevægelsen foregår i, som lydbølger udbreder sig i lufthavet. Uden luften ingen lyd. Fra gammel tid har man brugt betegnelsen æter om det "stof", lyset udbreder sig i. Æteren skulle gennemtrænge hele universet.
I slutningen af 1800 - tallet satte den amerikanske fysiker Albert A. Michelson sig for at bestemme jordens hastighed i forhold til æteren. Ideen var at måle frekvensændringer, svarende til dem, man hører, når ambulancen passerer. Over en lang periode gentog Michelson sine målinger, men hver gang uden resultat. Det så ud til, at jorden står stille i forhold til æteren. Men det er urimeligt: jorden - det lille ubetydelige fnug i universet - kan umuligt trække den gigantiske æter med sig rundt om solen.

Situationen var utålelig og blev først løst med Albert Einsteins analyse i Den specielle relativitetsteori fra 1905, med selv mange år efter vægrede store dele af det fysiske establishment sig ved at acceptere de nye tanker.

Emner

• Samtidighed
• Lorentz - transformationen
• Sammensætning af hastigheder
• Lorentz - forkortning og tidsforlængelse
• Uret i toget
• Massefunktionen
• E = m · c²
• Magnetisme
• Links

Samtidighed

Vi forestiller os et tog, der passerer en perron. Toget observeres af 2 observatører: stationsforstanderen S på perronen og togføreren T ombord. Pludselig slår 2 lyn ned og sætter mærker på henholdsvis togets for- og bagende og på skinnelegemet. Vi tænker os yderligere, at S oplever følgende

S: Lynglimtene ses samtidig, og ved at måle samme afstand til de to skinnemærker konkluderer han: Lynene slog ned samtidig og afstanden mellem skinnemærkerne måler togets længde.

I den tid, der går, fra lynene slår ned, til de 2 bølgefronter slår sammen, har toget flyttet sig et (lille) stykke. Lad os sige, at T også ser lynglimtene samtidig. Han står altså ikke i midten af toget men i den bageste halvdel og tænker:

T: Da jeg ser glimtene samtidig , og der er længere til forenden af toget end til bagenden, er nedslagene ikke samtidige. Lynet foran må være slået ned først. Og toget er derfor længere end afstanden mellem skinnemærkerne.

Einsteins pointe er, at samtidighed og længde er relative begreber. De to observatører har begge "ret".

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Lorentz - transformationen

Einsteins analyse indeholder bl.a. den konklusion, at æteren ikke eksisterer. Han bygger sin specielle relativitatsteori på to postulater:

1: Lysets hastighed c er den maksimale hastighed af fysiske objekter.
2: Lyset bevæger sig med samme hastighed i alle koordinatsystemer.

Vi har igen to observatører S og T i hver sit koordinatsystem. Deres sted-og tidsmålinger er x, t og x', t' henholdsvis. Lad os sige, at T bevæger sig ud ad den fælles x-akse med farten v, og at begge deres ure viser 0 i det øjeblik, de passerer hinanden.

Opgaven går ud på at regne om mellem x, t og x', t'. Vi søger altså den transformation (Lorentz - transformationen), der knytter begivenhederne (x, t) og (x', t') sammen. I den klassiske fysik er x' = x – v · t   og   x = x' + v · t', fordi t = t' (de to ure går ens). Det gælder ikke længere, så vi sætter

x' = k(x – v · t)   og   x = k(x' + v · t') .

I det øjeblik da x = x' = t = t' = 0, slår et lyn ned i det fælles nulpunkt. Lidt senere er bølgefronten nået til et punkt bestemt ved

S: x = c · t     T: x' = c · t'   (lysets har samme hastighed i de to systemer).

Indsættes disse i de første ligninger fås

c · t' = k(c · t – v · t)   og   c · t = k(c · t' + v · t')   eller
c · t' / t = k(c – v)   og   c · t / t' = k(c + v),   som ganges sammen til
c² = k²(c – v)(c + v) = k²(c² – v²).

Vi ser, at

k² = 1 / (1 – v²/c²), så Lorentz - transformationen bliver

x' =

x – v · t √ 1 – v2/c2

og

x =

x' + v · t' √ 1 – v2/c2

Disse formler kan omformes til

t' =

t – v · x / c2 √ 1 – v2/c2

og

t =

t' + v · x' / c2 √ 1 – v2/c2

Regnemaskinen regner om mellem v (i brøkdele af c) og k.
Ændr én af værdierne og klik uden for boksen.
v = ·c   svarer til   k =

Homogene koordinater

Sætter vi længden τ = c · t (græsk t) og den relative hastighed υ = v / c (græsk u), kan Lorentztransformationen skrives

x' =

x – υ · τ √ 1 – υ2

, x =

x' + υ · τ' √ 1 – υ2

, τ' =

τ – υ · x √ 1 – υ2

og   τ =

τ' + υ · x' √ 1 – υ2

,

med symmetri mellem (x, τ) og (x', τ').

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Sammensætning af hastigheder

En passager i toget flytter sig stykket x' i løbet af tiden t'. Bevægelse foregår med hastigheden u = x' / t' set af T og hastigheden w = x / t set af S. Lorentztransformationen giver

w =

x t

=

k(x' + v t') k(t' + v x' / c2)

=

x' / t' + v 1 + v x' / t'c2

=

u + v 1 + uv / c2

.

Man kunne måske tro, at hvis u og v begge var f.eks 0.75 c, ville sammensætningen give overlyshastighed. Men

w = (0.75 c + 0.75 c) / (1 + 0.75²) = 0.96 c < c,

i overensstemmelse med Einsteins antagelse, at c er en overgrænse for hastigheder. Er u = 0, får vi w = v som forventet, men er u = c bliver w = (c + v) / (1 + v/c) = c.

Regnemaskinen beregner den sammensatte hastighed af u og v (i brøkdele af c).
Ændr én af værdierne og klik uden for boksen.
u = · c og v = · c giver w = · c

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Lorentz - forkortning og tidsforlængelse

Vi vende nu tilbage til S og T's uenighed om togets længde.

At "noget" sker i punktet x kl. t kaldes begivenheden (x, t).
T kan f.eks. udtrykke sin opfattelse ved de to begivenheder: A: (0, 0) og B: (l₀, 0), at togets bagende er i x' = 0 kl. t' = 0 og forenden i x' = l₀ kl. t' = 0. Da de to begivenheder er samtidige, har han ret i, at togets længde er l₀. Med Lorentztransformationen kan vi beregne, at S's opfattelse af de to begivenheder er

A: (0, 0)   og   B: (k l₀, k v l₀/c²)

Men for S er begivenhederne ikke samtidige! B indtræffer k v l₀/c² senere end A. I det tidsrum har toget bevæget sig med hastigheden v, så han finder, at togets længde er

l = k l₀ – k v l₀/c² · v = k l₀(1 – v²/c²)   eller

l = l0

√

1 – v2/c2

<   l0 .

Vi ser, at hvilelængden l₀ er større end vandrelængden. Jo hurtigere toget bevæger sig i forhold til os, jo kortere er det. Når hastigheden nærmer sig lysets, svinder toget ind.

Tidsforlængelse

En passager på toget bruger tiden t₀ på at læse sin avis. Vi beskriver processen ved begivenhederne A: (0, 0) og B: (0, t₀). Set fra S er begivenhederne

A: (0, 0)   og   B: (k v t₀, k t₀)

S finder altså, at avislæsningen har taget tiden

t =

t0 √ 1 – v2/c2

>   t0 .

Jo hurtigere toget kører, jo længere tid tager processerne ombord set fra S. Når hastigheden nærmer sig lysets, går alting i stå.

Uret i toget

Vi tænker os, at toget er forsynet med et ur. Det består af to vandrette spejle: et på gulvet og et i loftet. En foton bevæger sig lodret (for T) mod et spejl, reflekteres og fortsætter mod det andet spejl, o.s.v. Hver gang fotonen rammer et spejl, tæller uret én tidsenhed frem.

Da fotonen bevæger sig vinkelret på togets bevægelsesretning, er S og T enige om afstanden mellem spejlene. Lad den være l₀. Desuden er de enige om, at fotonens fart er c.

For T er tidsenheden t₀ = l₀ / c, men for S er tidsenheden t > t₀, fordi han ser fotonen bevæge sig i en skrå bane. Fra hans synspunkt har banen en vandret del v t, så fotonen bevæger sig langs hypotenusen i en retvinklet trekant med kateterne l₀ og v t. Han finder

l2 = l02 + (v t)2   og dermed

t2 =

l2 c2

=

l02 + (v t)2 c2

=   t02 +

v2 t2 c2

hvoraf

t2 (1 –

v2 c2

) = t02   eller   t =

t0 √ 1 – v2/c2

>   t0 .

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Massefunktionen

Længder og tidsrum er forskellige for S og T, med hvad med masser? For at undersøge det, ser vi på et sammenstød mellem to ens stykker tyggegummi, som efter stødet er én klump.

Da vi (endnu) ikke ved, om masse af en partikel afhænger af hastigheden, sætter vi for en sikkerheds skyld m(v) = m₀ · f(v), hvor m₀ er massen, når partiklen ligger stille. Desuden er vi åbne for, at hvilemassen M₀ af klumpen kan være forskellig fra 2 m₀.

Derimod holder vi fast ved, at den samlede masse og den samlede impuls = masse · hastighed er bevaret under stødet både set af S og T.

Lad os sige, at forsøget foretages i toget, hvor partiklerne inden stødet har hastighederne v og –v og efter stødet ligger stille.

T: massebevarelse: m₀ · f(v) + m₀ · f(v) = M₀
    impulsbevarelse: m₀ · f(v) · v + m₀ · f(v) · (–v) = M₀ · 0

Set af S har den ene partikel hastigheden w = 2v/(1 + v²/c²) (ifølge sammensætning af hastigheder), og den anden ligger stille inden stødet. Efter stødet har klumpen hastigheden v.

S: massebevarelse: m₀ · f(w) + m₀ = M₀ · f(v)
    impulsbevarelse: m₀ · f(w) · w + m₀ · 0 = M₀ · f(v) · v

Det giver os 3 ligninger:

1. 2 m₀f(v) = M₀
2. m₀(f(w) + 1) = M₀f(v)
3. m₀f(w)w = M₀f(v)v

Ved at indsætte M₀ fra 1 i de to andre ligninger og dividere med m₀ fås

f(w) + 1 = 2 f(v)f(v)   og   f(w)w = 2 f(v)f(v)v   eller
f(w) = 2 f²(v) – 1 = 2 f²(v) · v / w .

Heraf ser vi, at

2 f2(v)(1 –

v w

) = 1   eller

1 f2(v)

= 2 (1 –

v w

) = 2 –

2v(1 + v2/c2) 2v

= 1 –

v2 c2

,

så f(v) = k. Massefunktionen er altså

m(v) =

m0 √ 1 – v2/c2

>   m0 .

Jo hurtigere toget kører, jo mere vejer partiklerne ombord set fra S. Når hastigheden nærmer sig lysets, bliver de uendelig tunge. Vi har her forklaringen på, at lysets hastighed er en fysisk overgrænse: Når en partikel accelereres, bliver den tungere. Den sidste acceleration op mod c kræver en uendelig stor kraftpåvirkning.

Når man i moderne fysik ofte opfatter lys som fotoner, hænger det sammen med, at fotonens hvilemasse sættes til 0.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

E = m · c²

I relativitetsteori er masser afhængige af hastigheder, så Newtons anden lov skrives på formen

F = (mv)' .

Når en partikel accelereres fra hvile til hastigheden v, opnår den en kinetisk energi E_kin, som er lig kraftens arbejde på den. Da v = ds / dt, er

Ekin =

∫

F ds =

∫

d(mv) dt

ds =

∫

v d(mv) =

∫

v d

(

m0 v √ 1 – v2/c2

)

=

m0

∫

v d

(

v √ 1 – v2/c2

)

, hvor integralets v-grænser er 0 og v.

Vi sætter

u =

v √ 1 – v2/c2

og dermed

u2(1 –

v2 c2

) = v2

eller

v2(1 +

u2 c2

) = u2

eller

v =

u √ 1 + u2/c2

.   Desuden er

√ 1 + u2/c2

=

u v

=

1 √ 1 – v2/c2

Herefter er

Ekin = m0

∫

v d

(

v √ 1 – v2/c2

)

= m0

∫

u du √ 1 + u2/c2

,

Ekin = m0

∫

u du √ 1 + u2/c2

=

m0c2 2

∫

dt √ t

=   m0c2

√ t

=

m0c2

√ 1 + u2/c2

=   m0c2

[

1 √ 1 – v2/c2

]

v 0

= m c2 – m0c2 = Δm c2 .

En partikels kinetiske energi viser sig altså som en masseforøgelse. Partiklens hvileenergi er m₀c², og dens samlede energi er m c² .

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Magnetisme

Det er ikke svært at forestille sig et tyngdefelt eller et elektrisk felt. Feltlinierne udgår fra masser/ladninger og ender på masser/ladninger. Men det magnetiske felt er mærkeligt. Der findes ingen "magnetisk ladning" og de magnetiske feltlinier starter ikke noget sted og slutter ikke noget sted; men løber tilbage i sig selv.

For at undersøge dette mærkelige fænomen nærmere ser vi på en "uendelig" lang kobberledning: I afstanden a fra den har vi en prøveladning –Q. Så længe ledningen er uladet, er der ingen kraft på prøveladningen, men hvis den lades elektrisk med ladningstætheden ρ (Coulomb/meter), titrækkes prøveladningen med en kraft på

F =

ρ Q 2π ε0a

,   fordi den oplever feltstyrken

E =

ρ 2π ε0a

fra ledningen .

Men hvordan ser det mon ud, hvis ledningen er uladet, men fører strømmen I ? Strømmen skyldes, at nogle elektroner bevæger sig. Lad deres hastighed i forhold til kobberet være v. Deres ladningstæthed ρ_– er bestemt ved

I = ρ_–v .

Set af en observatør S i hvile i forhold til kobberet, er ladningerne i ballance

S: ρ₊ = –ρ_– = ρ ,

men en observatør T, der følger med strømmen finder ifølge Lorentz - forkortningen, at der er længere mellem elektronerne og kortere mellem kobberkernerne end S mener. Altså

T: ρ₊' = ρ₊·k   og   ρ_–' = ρ_–/k ,

så T finder ikke ladningsballance, men overskud af positiv ladning

T: ρ' = ρ·k – ρ/k =

ρ √ 1 – v2/c2

(

1 – (

1 – v2/c2)

)

=

ρ v2 c2√ 1 – v2/c2

.

T finder altså en ekstra "relativistisk" ladningsfordeling på ledningen, og at ledningen altså er omgivet af et "reativistisk" E - felt.

T : E'rel =

ρ' 2π ε0a

=

ρ v2 2π ε0ac2√ 1 – v2/c2

og dermed kraften   F' =

ρ v2Q 2π ε0ac2√ 1 – v2/c2

,

hvis Q er i hvile i forhold til T og altså bevæger sig med samme hastighed v som elektronerne i lederen. Man kan vise, at S oplever kraften F = F´/ k, så

S: F =

F' k

=

ρ v2Q 2π ε0ac2

,   og dermed feltstyrken

Erel =

ρ v2 2π ε0ac2

.

Der er tradition for at sætte ε₀c² = 1 / μ₀. Med I = ρ v har vi

S: F =

μ0I v Q 2π a

= B Q v

,   hvor vi har indført det magnetiske B - felt

B =

μ0I 2π a

i afstanden a fra lederen.

Magnetisme er altså "blot" en relativistisk ledsageeffekt til Coulombs lov.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Links

Engelsk side med oversigt over relativitetsteoriens personer og historie

Artikel af Benny Lautrup (NBI)

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]