En Talfølge a1, a2, a3, ... , an, ... består af uendelig mange tal. Fibonacci - tallene er et eksempel.
En talfølge kaldes konvergent, hvis der findes et tal (kaldet følgens grænseværdi), som følgen nærmer sig, nå n vokser ud over alle grænser. Man skriver i dette tilfælde
| an → a for n→ ∞ eller | lim n→ ∞ |
an = a . |
Fiboncci - talfølgen er ikke konvergent.
Her er en præcis definition af konvergens for følger.
En rækker er et udtryk af form
Til rækken hører en afsnitsfølge
Er afsnitsfølgen konvergent med grænseværdien s, siges rækken at være konvergent med grænseværdien s, og man skriver
| a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = | ∞ Σ i = 1 |
ai = s . |
Denne definition er sjældent anvendelig i praksis, fordi man ikke har et godt bud på en rækkes eventuelle grænseværdi. I stedet anvender man i reglen Cauchy's kriterium:
Rækken a1 + a2 + ... kaldes absolut konvergent hvis rækken
Hvis leddene i en absolut konvergent række omordnes, ændrer det ikke rækkens grænseværdi. Er rækken derimod konvergent men ikke absolut konvergent, kan man opnå enhver grænseværdi (eller gøre den divergent) ved omordning.
er af form
Potensrækker anvendes ofte til rækkeudvikling af funktioner.
En særlig simpel potenrække er kvotientrækken
For dens afsnitsfølge gælder
| sn = | 1 – xn 1 – x |
, hvoraf ses, at rækken er konvergent med summen |
| 1 + x1 + x2 + ... + xn + ... = | 1 1 – x |
for –1 < x < 1 . |
f(x) = ex er den eneste ikke - trivielle funktion, der er sin egen differentialkvotient (ex)' = ex. Vi antager, at ex kan skrives på formen
De to polynomier kan kun være ens, hvis
Da e0 = 1, er a0 = 1 og dermed a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/6, ..., an = 1/n!. ex har altså rækkeudviklingen
| ex = 1 + | x 1! |
+ | x2 2! |
+ | x3 3! |
+ ... + | xn n! |
+ ... (samme resultat nås v.h.a. Taylor - udvikling) |
Specielt er
| e = 1 + | 1 1! |
+ | 1 2! |
+ | 1 3! |
+ ... + | 1 n! |
+ ... = 2.71828182... . |
Bevis. Ved brug af afsnitsfølger har vi:
an = sn – sn–1 →
s – s = 0 for n → ∞ .
Bemærk, at det omvendte ikke gælder. F.eks. er rækken
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ... divergent.
Bevis. Ifølge Cauchy's kriterium gælder
0 ≤
|an+1| +
|an+2| + ... +
|an+r| ≤
bn+1 + bn+2 + ... + bn+r →
0 for n→ ∞ og r = 1, 2, 3, ... .
Nærmer en rækkes led sig (fra et vist trin) 0 tilstrækkelig hurtigt, er rækken konvergent. F.eks.
| | | |
an+1 an |
| | |
≤ q for n > N . |
Bevis. Det er naturligvis tilstrækkeligt at se på "halen"
(n > N). Vi har
som er konvergent ifølge teorien for kvotientrækker.
En variant af kriteriet siger
| Hvis | | | |
an+1 an |
| | |
→ L for n → ∞ , er der 3 tilfælde |
Nærmer en rækkes led sig (fra et vist trin) 0 tilstrækkelig hurtigt, er rækken konvergent. F.eks.
| n |
√ |
|an| |
≤ q for n > N . |
Bevis. Det er naturligvis tilstrækkeligt at se på "halen"
(n > N). Vi har
som er konvergen ifølge teorien for kvotientrækker.
Kender man en funktion "tilstrækkelig godt" i x0 (d.v.s. funktionens og alle dens aflededes værdier), er funktionen bestemt i alle x. Funktionenes Taylor - udvikling viser hvordan.
Lad f(x) være vilkårlig ofte differentiabel i x0. Vi søger den potensrække
hvor p(x0) = f(x0) , p'(x0) = f '(x0) , p"(x0) = f "(x0) , ... , p(n)(x0) = f(n)(x0) , .... Vi finder
| f(x) = f(x0) + f '(x0)(x–x0) + | f "(x0) 2 |
(x–x0)2 + | f (3)(x0) 3! |
(x–x0)3 + ... + |
| f (n)(x0) n! |
(x–x0)n + ... (Taylorrækken for f(x) udviklet ud fra x0) |
Her er det gode spørgsmål, hvor stor en fejl man begår ved at erstatte f(x) med de første n led af funktionens Taylorrække. Vi søger altså en vurdering af restleddet Rn i udtrykket
| f(x) = f(x0) + f '(x0)(x–x0) + | f "(x0) 2 |
(x–x0)2 + ... + | f (n)(x0) n! |
(x–x0)n + Rn . |
| Her er vist, at der findes et c mellem x0 og x, så | Rn = | f (n+1)(c) (n+1)! |
(x–x0)n+1 . |
Fejlen kan altså vurderes ved at finde min(Rn) og max(Rn) .
Her er nogle standardfunktioners Taylor - udviklinger omkring x0 = 0 .
| ex = 1 + x + | x2 2 |
+ | x3 3! |
+ ... + | xn n! |
+ ... |
| sin(x) = x – | x3 3! |
+ | x5 5! |
– ... + (–1)n+1 | x2n–1 (2n–1)! |
+ ... |
| cos(x) = 1 – | x2 2! |
+ | x4 4! |
– ... + (–1)n | x2n (2n)! |
+ ... |
| ln(1 + x) = x – | x2 2 |
+ | x3 3 |
– ... + (–1)n+1 | xn n |
+ ... |
Følgen
siges at gå mod a (konvergere mod a, være konvergent med grænseværdien a), hvis der for alle ε > 0 findes N, så |a – an| < ε for n > N. Hardcorematematikre skriver
Vi skal udnytte, at
| f(x) = f(x0) + | ∫ | x x0 |
f '(x) dx og | f '(x) = f '(x0) + | ∫ | x x0 |
f "(x) dx , som tilsammen giver |
| f(x) = f(x0) + | ∫ | x x0 |
( | f '(x0) + | ∫ | x x0 |
f "(x) dx | ) | dx eller |
| f(x) = f(x0) + f '(x0)(x – x0) + | ∫ | x x0 |
∫ | x x0 |
f "(x) dx . |
Vi fortsætter med at udnytte, at
| f "(x) = f "(x0) + | ∫ | x x0 |
f '"(x) dx , og får |
| f(x) = f(x0) + f '(x0)(x – x0) + | ∫ | x x0 |
∫ | x x0 |
( | f "(x0) + | ∫ | x x0 |
f '"(x) dx | ) | dx dx. |
| f(x) = f(x0) + f '(x0)(x – x0) + f "(x0) | (x – x0)2 2 |
+ | ∫ | x x0 |
∫ | x x0 |
∫ | x x0 |
f '"(x) dx dx dx. |
Fortsættes denne proces, får vi restleddet
| Rn = | ∫ | x x0 |
... | ∫ | x x0 |
f (n+1)(x) dx ... dx , (n + 1 integraler). |
Ifølge integralregningens middelværdisætning findes c mellem x0 og x, så det inderste integrale kan erstattes med (x – x0)·f (n+1)(c). Herefter kan restleddet skrives
| Rn = f (n+1)(c) | ∫ | x x0 |
... | ∫ | x x0 |
(x – x0) dx ... dx = f (n+1)(c) | (x – x0)n+1 (n+1)! |
(n integraler). |
Taylorrækker
[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]