Polynomier

Et polynomie er en funktion af type f(x) = a_nxⁿ + a_n–1x^n–1 + a_n–2x^n–2 + ... + a₁x + a₀.

Emner

• Generelt om polynomier
• Differentiation af polynomier
• Polynomiebrøker
• Asymptoter
• Polynomiedivision

Generelt

Polynomiets grad (n) er den højeste eksponent, der forekommer i polynomiet.
x₀ er rod i polynomiet, hvis f(x₀) = 0.

Regnemaskinen beregner eventuelle rødder i polynomiet p(x) i intervallet [a; b].
Ændr polynomiet p(x) og klik på "Beregn".

Differentiation af polynomier

Ifølge regnereglerne for differentiation er

(a_nxⁿ + a_n–1x^n–1 + a_n–2x^n–2 + ... + a₁x + a₀)' = n a_nx^n–1 + (n–1)a_n–1x^n–2 + (n–2)a_n–2x^n–3 + ... + 2a₂x + a₁.

Grafikken viser graferne for f(x) = a₅x⁵ + a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀   og   f '(x)

Polynomiebrøker

En Polynomiebrøk er en funktion af type

f(x) =

p(x) s(x)

=

anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + ... + a1x + a0 bmxm + bm–1xm–1 + bm–2xm–2 + ... + b1x + b0

.

Asymptoter

Asymptoter til grafen for f(x) er rette linier, som ikke kan skelnes fra grafen i det fjerne.

Vi deler asymptoter i 3 slags:

x = x₀ er lodret asymptote til grafen for f(x), hvis f(x) → ± ∞   for   x → x₀.
y = y₀ er vandret asymptote til grafen for f(x), hvis f(x) → y₀   for   x → ± ∞.
y = ax + b er skrå asymptote til grafen for f(x), hvis f(x) – (ax + b) → 0   for   x → ± ∞.

Er f(x) er polynomiebrøk, er linien

x = x₀ lodret asymptote for dens graf, hvis x₀ er rod i nævneren s(x) men ikke i tælleren p(x).
y = a_n / b_m vandret asymptote for dens graf, hvis tæller og nævner har samme grad, så n = m.
y = ax + b skrå asymptote for dens graf, hvis graden af p(x) er 1 større end graden af s(x), så n = m + 1.

At dividere polynomiet p(x) med polynomiet s(x) = b_mx^m + b_m–1x^m–1 + ... + b₀ vil sige at finde to polynomier q(x) og r(x), så

p(x) s(x)

= q(x) +

r(x) s(x)

, eller

p(x) = q(x) · s(x) + r(x) , hvor graden af r(x) er mindre end graden af s(x).

Er r(x) = 0 , siges divisionen at "gå op".

Sætter vi q(x) = c_ixⁱ + c_i–1x^i–1 + ... + c₀ , er det klart, at højeste potens i p(x) svarer til de højeste potenser i q og s ganget sammen.

a_nxⁿ = c_ixⁱ · b_mx^m , eller c_ixⁱ = a_n / b_m · x^n–m,

så graden af q(x) er n – m.

Er specielt s(x) = x – x₀ et førstegradpolynomium, har vi

p(x) = q(x) · (x – x₀) + r , hvor graden af r er 0, d.v.s. r er et tal.

Vi ser, at p(x₀) = r, så

x₀ er rod i p(x) hvis og kun hvis r = 0; altså x – x₀ går op i p(x).

Regnemaskinen udfører divisionen p(x) = q(x) · s(x) + r(x).
Ændr poynomierne p(x) eller s(x) og klik på "Divider".

Her finder du et program, der kan faktorisere polynomier.
Dette program udfører polynomiedivision.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]