Polyedre

Et polyeder er en rumlig figur sat sammen af polygoner. Er polygonerne ens og regulære (d.v.s. at alle sider er lige lange og alle vinkler lige store), kaldes polyederet regulært.

Indhold

• Tetraedret
• Oktaedret

Tetraedret

Et tetraeder består af 4 ligesidede (60° - 60° - 60°) trekanter.
Højden AN står vinkelret på ΔBCD. E og M ligger midt på siderne CD og AB henholdsvis, og linien EM stå vinkelret på kanterne CD og AB og skærer højden i tetraedrets centrum O.

Tetraedret       og       methan (CH₄)

Sætter vi sidelængden til 1, er |DE| = ½, og dermed (ifølge Pythagoras) |AE| = |BE| = √(1² – ½²) = ½ √3.
ΔBME er retvinklet, så sin(½∠EB) = sin(∠EM) = ½ / ½√3 = 1 / √3,
og dermed (cos(2v) = 1 – 2 sin²(v)) cos(∠EB) = 1 – 2(1 / √3)² = 1 / 3 og sin(∠EB) = 2√2 / 3.
Tetraedrets toplansvinkel ∠EB = 70.521°.

|EN| = |EA|cos(∠EB) = ½√3 · 1 / 3 = √3 / 6.
|AN| = |EA|sin(∠EB) = ½√3 · 2 √2 / 3 = 2√6 / 6.
|NO| = |EN|tan(∠MEB) = √3 / 6 / √2 = √(3 / 2) / 6.
|AO| = |BO| = |CO| = |DO| = |AN| – |NO| = (2√6 – √(3 / 2)) / 6.

Af ΔAOM fås sin(∠OM) = |AM| / |AO| = 3 / (2√6 – √(3 / 2)). Heraf fås ∠OM = 54.7356° eller

Tetraedervinklen ∠OB = 109.471°

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Oktaedret

Et oktaeder består af 8 ligesidede (60° - 60° - 60°) trekanter.

Sætter vi oktaedrets kantlængde til 1, bliver |OM| = ½ og |AM| = ½√3, og dermed cos(∠AMO) = |OM| / |AM| = 1 / √3, så ∠AMO = 54.736°.

Oktadrets toplansvinkel ∠AMF = 109.471° = tetraedervinklen!

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]