Regnemaskinen beregner værdien til højre for den ændrede
størrelse samt værdien for a.
Ændr værdierne for r , T eller v og klik uden for boksen.
Hvis et punkt P's koordinater er funktioner af en parameter t, beskriver punktet en parameterkurve, når parameteren varieres. Kurven er graf for en vektorfunktion.
| OP→ = r→(t) = | ( | f(t) g(t) |
) | , hvor t ∈ R. |
f(t) og g(t) kaldes parameterkurvens koordinatfunktioner.
I et polært koordinatsystem angives et punkt ved talparret r, θ, hvor r er punktets afstand fra systemets nulpunkt og θ er vinklen fra 1 - aksens retning til retningen til punktet.
Vi ser, at sammenhængen mellem de sædvanlige (cartesianske) og de polære koordinater er
En ret linie l i planen (eller rummet) er parallel med en vektor r → og indeholder punktet P0. Linien kan fastlægges som mængden af punkter P med den egenskab, at vektoren P0P→ er proportional med (retningsvektoren) r→, altså
Har P0 koordinaterne ( x0 , y0 ) og r→ koordinaterne ( r1 , r2 ), har vi
som kaldes liniens parameterfremstilling. t er parameteren.
En retningsvektor står vinkelret på enhver af liniens normalvektorer d.v.s
Foregår bevægelsen i tiden, er stedets ændring i tidsrummet Δt
Den gennemsnitlige ændring er middelhastigheden
| Δr→(t)
Δt |
= | r→(t + Δt)
– r→(t)
Δt |
= | ( | f(t + Δt) – f(t)
Δt |
, | g(t + Δt) – g(t)
Δt |
) | . |
Er koordinatfunktionerne f(t) og g(t) differentiable, har vi
| Δr→(t)
Δt |
→ | ( | f '(t) g'(t) |
) | = r→'(t) for Δt → 0 . |
Er koordinatfunktionerne to gange differentiable, er accelerationen
Vi søger arealet begrænset af 1 - aksen, linierne x = x1 og x = x2 og grafen for
| OP→ = r→(t) = | ( | f(t) g(t) |
) | , hvor t ∈ R. |
Lad grafen ligge over 1 - aksen for t1 < t < t2 og x1 = f(t1) < x2 = f(t2), samt at f(t) er en differentiabel funktion.
Som vist i integralregningen er (med y = g(t), x = f(t) og dx = d(f(t)) = f '(t) dt). Der anvendes "substitution den anden vej".
| Areal = | ∫ | x2 x1 |
y dx = | ∫ | t2 t1 |
g(t) · f '(t) dt . |
Definitionen på enhedscirklen og sinus og cosinus kan udtrykkes: OP→ = ( cos(t) , sin(t) ).
Har cirklen radius r, får vi
så cirklen fremkommer ved at danne linearkombinationer af to ortogonale vektorer (r, 0) og (0, r) med koefficienterne cos(t) og sin(t).
Ethvert punkt på en cirkel kan nås ved først at gå til cirklens centrum C og derefter langs en radiusvektor r→ fra C til P på periferien. OP→ = OC→ + r→.
Har centrum koordinaterne C = ( a , b ), får vi følgende parameterfremstilling for cirklen (t er vinklen i radianer.)
Hastigheden v og accelerationen a i bevægelsen findes ved differentiation m.h.t. (tiden) t
Jævne cirkelbevægelser forekommer ofte. F. eks. beskriver jorden med ret god tilnærmelse en cirkel om solen med konstant fart.
Er radius r og omløbstiden T, bliver farten
|
I tiden t flytter partiklen sig brøkdelen t / T af cirklens omkreds, d.v.s. vinklen 2π t / T = ωt. Derfor kan bevægelsens parameterfremstilling skrives
Ved sammensat differentiation fås
som ligger som tangent til cirklen. Farten i bevægelsen er v = ωr. Ved fortsat differentiation fås
som er rettet mod bevægelsens centrum. Den kaldes centripetalaccelerationen a = ω2r.
Sammenfatning:
| fart = v = ωr = | 2πr T |
| centripetalacceleration = a = ω2r = | v2 r |
= | 4π2r T2 |
Regnemaskinen beregner værdien til højre for den ændrede
størrelse samt værdien for a.
Ændr værdierne for r , T eller v og klik uden for boksen.
Er vektorfunktionen r→(t) = ( f(t) , g(t)
) differentiabel for parameterværdien t0, er vektoren
r→'(t0) = ( f '(t0) ,
g'(t0) ) retningsvektor for kurvens tangent i punktet ( f(t0) ,
g(t0) ).
Tangenten i punktet har følgelig parameterfremstillingen
| ( | x y |
) | = | ( | f(t0) g(t0) |
) | + s | ( | f '(t0) g'(t0) |
) | , hvor s er en parameter på tangenten. |
Parameterkurven har vandret tangent, hvis g'(t) = 0 og f '(t) ≠ 0.
Parameterkurven har lodret tangent, hvis f '(t) = 0 og g'(t) ≠ 0.
I kurvepunktet r→(0) er tangenten
l→(t) =
r→(0) +
(r' )→(0) · t
natuligvis den bedste lineære tilnærmelse til kurven.
Men en cirkel (krumningscirklen) kan tilnærme bedre.
Det er vel klart, at kurven og krumningscirklen må have fælles tangent i røringspunktet P. D.v.s. at CP→ = R→ er vinkelret på (r' )→, så vi kan sætte
Ideen er nu at bestemme R, så |C P(t)| ≈ |R| for små t-værdier.
Taylor - udvikles vektorfunktionen r→(t) til 2. orden omkring t = 0 fås, idet vi sparer (0)
Vi finder
Nu udnytter vi, at R→ = R · (r' )^ / |r' | og ser bort fra led mindst proportionale med t3. Vi finder
| R ≈ | –|r'
|2 (r' )^·(r" )→ / |(r' )→| |
, så man sætter |R| = | |r'
|3 |(r' )^·(r" )→| |
. |
Kurvens krumning κ er fastlagt ved
| κ = 1 / |R| = | |(r' )^·(r" )→| |r' |3 |
. |
Kan regneforskrifter skrives på formen
| r→(t) = | ( | t f(t) |
) | , har vi κ = 1 / |R| = | |f"(x)| |1 + (f '(x))2 |3/2 |
. |
I rumgeometri kan krumning og krumningsradius beregnes af
| κ = 1 / |R| = | |(r' )→ ×
(r" )→| |r' |3 |
. |
Vi ser på en partikel, der bevæger sig ifølge parameterfremstillingen
| r→(t) = | ( | x(t) y(t) |
) | = | ( | v0xt + x0 –½ g t2 + v0yt + y0 |
) | . |
Da begge koordinatfunktionerne er differentiable, har vi
| v→(t) = r→'(t) = | ( | x'(t) y'(t) |
) | = | ( | v0x –g t + v0y |
) | og a→(t) = r→"(t) = | ( | x"(t) y"(t) |
) | = | ( | 0 –g |
) | . |
Bevægelsen foregår altså med en konstant nedadrettet acceleration af størrelse g (tyngdeaccelerationen). På vor planet er værdien ca. 9.82 m/s2. Klokken t = 0 er partiklen i punktet ( x0 , y0 ) med hastigheden ( v0x , v0y ).
Archimedes' spiral (blå på grafikken) er grafen for vektorfunktionen
| r→(t) = | ( | x(t) y(t) |
) | = t | ( | cos(t) sin(t) |
) | , 0 ≤ t < ∞ . |
Den logaritmiske spiral (grøn på grafikken) er grafen for vektorfunktionen
| r→(t) = | ( | x(t) y(t) |
) | = et | ( | cos(t) sin(t) |
) | , t ∈ R . |
I Archimedes spiral er afstanden mellem to vindinger 2π. I et polært koordinatsystem er dens ligning r = θ.
Den logaritmiske spirals polære ligning er r = eθ.
Vi ser på en partikel, der bevæger sig ifølge parameterfremstillingen
| r→(t) = | ( | x(t) y(t) z(t) |
) | = | ( | r cos(t) r sin(t) k t |
) | . |
[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]