Før lommeregneren og de mekaniske regnemaskiner benyttede computere (personer, ansat til at foretage beregninger) logaritmetabeller. For computere var gode logaritmetabeller forskellen på at leve og dø. Der blev udsat store pengepræmier til den, der kunne finde fejl i tabellerne.
Når Tycho Brahe og hans regnemester Longomontanus i 1500 - tallet skulle gange 2 trigonometriske størrelser, omskrev de problemet v.h.a. de logaritmiske formler
Det er nemlig meget lettere at addere eller subtrahere f.eks. 5 - ciffrede tal end at multiplicere dem.
Logaritmefunktioner er funktioner, der "oversætter" multiplikationer til additioner.
|
Logaritmerne kom til verden i slutningen af 1500 - tallet, da John Napier og Henry Briggs opfandt den naturlige logaritme. |
For eksponentialfunktionen 10x gælder regnereglen
Man kan sige, at eksponentialfunktionen "oversætter" en addition til en multiplikation. Ønsker vi en funktion, der "oversætter" (vanskelige) multiplikationer til (lette) additioner, er der rimeligt at se på eksponentialfunktionens omvendte funktion.
log(x) er den omvendte funktion til 10x. D.v.s x = log(10x) = 10log(x). Det betyder, at
10log(a· b) = a· b =
10log(a)· 10log(b) = 10log(a)+log(b).
Da 10x er monoton
slutter vi, at log(a· b) = log(a) + log(b).
| Af log(a) = log(b · | a b |
) = log(b) + log( | a b |
) ser vi, at log( | a b |
) = log(a) – log(b). |
| Specielt er log( | 1 a |
) = log(1) – log(a) | = –log(a) . |
For potenser med hele positive eksponenter an finder vi log(an) = log(a · a · ... · a) = log(a) + log(a) + ... + log(a) (n led) = n log(a). Generelt gælder log(ar) = r log(a). Det kan ses af, at ar = (10log(a))r = 10r log(a).
| I x er tangentens hældningskoefficient | 0.4342945 x |
= | log(e) x |
. |
| (xn+1)' = (n+1) xn viser, at | F(x) = | xn+1 n + 1 | er en stamfunktion til f(x) = xn, for n ≠ –1. |
Det motiverer os til at se specielt på tilfældet n = –1 altså f(x) = 1 / x. Da f(x) er kontinuert for x > 0, har den stamfunktioner. Den stamfunktion, der indeholder punktet (1, 0) kaldes den naturlige logaritmefunktion ln(x).
| Dm(ln) = R+ , ln'(x) = | 1 x |
, ln(1) = 0. ♦ |
For at undersøge ln(x), ser vi på f(x) = ln(a x), hvor
a er et positivt tal.
Da f(x) er sammensat af to differentiable funktioner
a x og ln(x), er den selv differentiabel. Vi finder
| ln'(a x) = | 1 a x |
· (a x)' = | 1 a x |
· a = | 1 x |
, |
så f(x) = ln(a x) er (også) en stamfunktion til 1 / x. Det betyder, at der findes et tal k, så ln(a x) = ln(x) + k. Sætter vi x = 1, ser vi, at ln(a) = ln(1) + k = k. Altså er ln(a x) = ln(a) + ln(x). Vi har nu den fundamentale regneregel for logaritmer
| Af ln(a) = ln(b · | a b |
) = ln(b) + ln( | a b |
) ser vi, at ln( | a b |
) = ln(a) – ln(b). ♦ |
For potenser med hele positive eksponenter finder vi ln(an) = ln(a) + ln(a) + ... + ln(a) (n led) = n ln(a). ♦
Den omvendte funktion til ln(x) er eksponentialfunktionen ex, hvor e ≈ 2.71828, så a = eln(a). Heraf følger, at
| I x er tangentens hældningskoefficient | 1 x |
. |
Denne regnemaskine beregner ln(a) ved at dele intervallet [1; a]
i n lige store stykker og danne middelsummen af
1/x.
Ændr værdierne for n eller a og klik uden for boksen
Da eksponentialfunktioner er monotone, har de omvendte funktioner.
Den omvendte funktion til eksponentialfunktionen ax kaldes logaritmen med grundtal a (loga(x)). D.v.s.
Anvender vi ln på den første af disse ligninger, fås
| log(x) = | ln(x) ln(10) |
= 0.43429448 ln(x) = log(e) ln(x). |
En simpel logaritmetabelVi vil konstruere en simpel tabel over 10 - tals logaritmen log(x) og tager
udgangspunkt i, at log(1) = 0 , log(10) = 1 samt, at 103 = 1000
≈ 1024 = 210, så 3 ≈ 10 log(2) eller log(2) ≈ 0.30.
log(4) = 2 log(2) ≈ 0.602 log(5) = log(10) – log(2) ≈ 0.699 log(8) = log(2) + log(4) ≈ 0.903 log(16) = log(2) + log(8) ≈ 1.204 log(20) = log(2) + log(10) ≈ 1.301 Af 39 = 19683 ≈ 10000· 2 ser vi, at log(3) ≈ (4 + 0.301) / 9 = 0.478. 10xs hældningeskoefficient i x = 4.5 sættes til 105 – 104 = 90000. Δy = –317 svarer til Δx ≈ –317/90000 ≈ –0.004. Det giver 19683 = 39 ≈ 104+0.301–0.004, så log(3) ≈ 0.477. Det giver
log(6) = log(2) + log(3) ≈ 0.778 log(9) = log(3) + log(3) ≈ 0.954 log(12) = log(3) + log(4) ≈ 1.079 log(15) = log(3) + log(5) ≈ 1.176 log(18) = log(3) + log(6) ≈ 1.255 Af 74 = 2401 ≈ 100· 3· 8 ser vi, at log(7) ≈ (2 + 0.477 + 0.903) / 4 = 0.845. Det giver
log(14) = log(2) + log(7) ≈ 1.146 Af 115 = 161051 ≈ 10000· 16 ser vi, at log(11) ≈ (4 + 1.204) / 5 ≈ 1.041. Det giver
log(22) = log(2) + log(11) ≈ 1.342 Af 133 = 2197 ≈ 100 · 22 ser vi, at log(13) ≈ (2 + 1.342) / 3 ≈ 1.114. Det giver
log(26) = log(2) + log(13) ≈ 1.415 Af 173 = 4913 ≈ 100 · 72 ser vi, at log(17) ≈ (2 + 2· 0.845) / 3 ≈ 1.230. Af 193 · 7 = 48013 ≈ 1000 · 12 · 4 ser vi, at log(19) ≈ (3 + 1.079 + 0.602 – 0.845) / 3 ≈ 1.279. Af 234 = 279841 ≈ 10000 · 28 ser vi, at log(23) ≈ (4 + 1.447) / 4 ≈ 1.362. Af 292 · 5 = 4205 ≈ 100 · 2 · 21 ser vi, at log(29) ≈ (2 + 0.301 + 1.322 – 0.699) / 2 = 1.462. Særlig interesse knytter sig til intervallet ]1; 2[, hvor logaritmegrafen krummer mest. 1.017 · 14 = 15.00989 ≈ 15 viser,
at log(1.01) ≈ (1.176 – 1.146) / 7
≈ 0.0043.
Vil man konstruere en bedre label over 10 - tals logaritmen, kan man tage udgangspunkt i, at log(10) = 1, så log(√10) = ½. √10 kan bestemmes med "vilkårlig" nøjagtighed med den klassiske 20 - algoritme. Fortsætter man med at tage kvadratrødder, finder man følgende logaritmer (med 15 ciffres nøjagtighed, hvor sidste ciffer "hver anden gang" skal forhøjes). log(3.16227766016837) = 1/2 = 0.5 Vi har nu to logaritmer, der ligger så sæt ved hinanden, at vi tør tro, at logaritmefunktionen forløber lineært mellem dem. Vil vi finde en god værdi for log(2), kan vi ved fortsat kvadratrodsuddragning finde følgende omskrivning 2 = 1.414213562373092 = Vi ser, at log(2) = 524288 log(1.00000132207419) log(1.00000132207419) = log(1.00000109795872) +
0.00000047683715823125 + 0.434293766 · 0.00000022411547 = Det giver log(2) = 524288 · 0.0000005741691097 = 0.301029974 (lommeregneren giver 0.301029995). Vi har nu logaritmerne til alle tal på formen 2n · 10m, hvor n og m er hele tal. Næste skridt ville være at finde en god værdi for log(3) ved fortsat kvadratrodsuddragning af 3, indtil værdien ligger i intervallet [1.00000109795872; 1.00000219591866] o.s.v. Logaritmisk skalaAnvendes logaritmefunktionen på y = b · ax , fås log(y) = log(a) · x + log(b). Sætter vi Y = log(y), har vi
som viser, at x - Y - grafen er en ret linie. En skala, hvor tallet y er afsat ud for koordinaten Y = log(y) , kaldes en logaritmisk skala. Da man kun kan tage logaritmen til tal > 0, indeholder en logaritmisk skala hverken tallet 0 eller negative tal. Richter - skalaRichter skala er en logaritmisk skala, der anvendes til at udtrykke jordskælvs styrke. Udløses ved skælvet en energimængde på E ton TNT, beregnes Richter - værdien M af
Har to skælv en styrkeforskel på 1 Richter, udløser det største 101.5 = 32 gange mere energi end det mindste. LinksErik Vestergaards omfattende side Richter skala fra tysk Wikipedia [ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ] |