Landmåling

Danmark har været kortlagt adskillige gange. De første forsøg på at tegne danmarkskortet skete på baggrund af især søfolks beretninger om kystliniens forløb. Resultaterne var ofte ret fantasifulde.
Først da man i 1600 tallet gik over til triangulering, begyndte kortene at ligne Danmark. Her kan du læse mere.

Indhold
Triangulering

Som navnet antyder, er triangulering en metode, hvor landet dækkes at et net af trekanter. Trekanterne lægges, så der er frit udsyn fra en trekants vinkelspidser til nabo vinkelspidserne. De trigonometriske stationer blev anbragt på markante bakketoppe i form af forankrede stenblokke.

Ideen var, at man ud fra én trekantside og vinkelmålinger kunne beregne de andre sider i en trekant. Når de var kendte, kunne nabotrekanternes sider beregnes ud fra lutter vinkelmålinger.

Sinusrelationen

I Δ ABC herunder er højden h = BD = c sin(A) fordi ∠ ADB er ret. Følgelig kan Δ ABC's areal beregnes af areal = ½ g h = ½ b c sin(A). Havde vi anvendt andre højder i trekanten, havde vi fået areal = ½ b c sin(A) = ½ a c sin(B) = ½ a b sin(C). Ved division med ½ a b c fås sinusrelationen

Figur til sinusrelationen. B befinder sig i det kulørte område omkring punktet, hvis usikkerheden på vinkelbestemmelser er u.

Beklager; din browser kan ikke vise applets!

Ved én triangulering tog man udgangspunkt i to punkter A og C vest for København, hvis positioner man fik astronomer til at bestemme med centimeters nøjagtighed. Liniestykket b = AC er basis i den følgende beregning.

  1. Vælg et tredie punkt B
  2. Placer teodolitten i A og mål A = ∠BAC
  3. Placer teodolitten i C og mål C = ∠BCA
  4. Beregn B = ∠ABC = 180° – (A + C)
  5. Beregn a af
    a
    sin(A)    		 = b
    sin(B)    		   eller   a = b · sin(A)
    sin(A + C)
  6. Beregn c af
    c = b · sin(C)
    sin(A + C)
  7. a og c opfattes nu som basis i nabotrekanter, og metoden gentages

Her er en øvelse om triangulering.

Fejlhåndtering

Det lyder jo altsammen enkelt. Men der er faldgruber.
Alle målinger er behæftede med fejl, men nogle situationer er alvorligere end andre. Her drejer det sig om basislængden og vinkelmålinger.

Det er fristende at lægge B langt fra A og C. Men i så fald bliver A og C store, og vi får store fejl. På den anden side: Hvis vi gør vinklerne små, skal der mange trekanter til at nå fra "København til Skagen". Kompromiset er (som det fremgår af illustrationen) at tilstræbe ligesidede trekanter (60° - 60° - 60°).

Links

[ Toppen af siden ]