Kurver

Emner

• Generelt
• Den rette linie (2d)
• Skæring mellem to linier
• Cirklen
• Cirkeltangent
• Almindelig cirkelgeometri
• Keglesnit ay² + bx² + cxy + dy + ex + f = 0
• Bezier splines

Generelt

En (plan) kurve er en mængde af punkter i planen. Kurvens ligning er en ligning i x og y. Kurven består af de punkter P(x, y), hvor x og y passer i ligningen.
Man udtrykker det ind i mellem med vendingen, at kurven er det geometriske sted for de punkter, der passer i ligningen (eller opfylder et andet krav).

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Den rette linie (2d)

I afsnittet lineære funktioner sås, at grafen for en funktion at typen f(x) = a · x + b er en ret linie i planen. D.v.s, at ligningen for en ret linie kan være af form y = a · x + b.

Har linien hældningskoefficienten a og indeholder punktet P(x₀, y₀) er y₀ = a · x₀ + b, eller b = y₀ – a · x₀. Indsættes dette i den første ligning, fås liniens ligning

y = y₀ + a(x – x₀).

Helt generelt har enhver linie en ligning af form (a, b og c er tal)

a · x + b · y = c.

Er linien ikke lodret (b ≠ 0), kan ligningen skrives y = –a/b · x + c/b.

Er linien lodret (hældningskoefficienten udefineret), bliver ligningen x = c/a.

Afstand mellem punkt og linie

For at bestemme den vinkeltrette afstand mellem P(x, y) og linien med ligningen y = a · x + b, tegner vi den lodrette linie gennem P. Den skærer linien i E(x, ax + b).
EFG er en retvinklet trekant, hvis vandrette katete er |EF| = 1. Dens lodrette katete er |FG| = a (liniens hældningskoefficient).

Trekanterne PDE og EFG er ensvinklede fordi, de begge er retvinklede og ∠PED = ∠EGF.

Afstand   =   |PD|   =

|ax + b – y| √ 1 + a2

.

Regnemaskinen beregner afstanden mellem linien y = a x + b og punktet (x , y).
Ændr værdierne for a, b, x eller y og klik uden for boksen

Indbyrdes vinkelrette linier

Linien P₁P₂'s hældningskoefficient er = tan(v), hvor v er vinklen fra 1-aksen til linien. Linien DP danner en vinkel, der er 90⁰ større.

To linier står vinkelret på hinanden, hvis og kun hvis deres hældningskoefficienters produkt = –1.

Skæring mellem to linier

Er liniernes ligninger a₁x + b₁y = c₁ og a₂x + b₂y = c₂, findes et eventuelt skæringspunkt ved at løse ligningerne m.h.t. x og y.
Ganger vi den første igennem med b₂ og den anden med b₁ (a₂ og a₁), får vi

a₁b₂x + b₁b₂y = c₁b₂   og   a₂a₁x + a₂b₁y = a₂c₁
a₂b₁x + b₂b₁y = c₂b₁   og   a₁a₂x + a₁b₂y = a₁c₂.

Ved subtraktion finder vi

(a₁b₂ – a₂b₁)x = c₁b₂ – c₂b₁   og   (a₁b₂ – a₂b₁)y =  a₁c₂ – a₂c₁

Er nu a₁b₂ – a₂b₁ ≠ 0, kan vi dividere og finder skæringspunktets koordinater

x =

c1b2 – c2b1 a1b2 – a2b1

og   y =

a1c2 – a2c1 a1b2 – a2b1

.

Er derimod a₁b₂ – a₂b₁ = 0, er a₁/b₁ = a₂/b₂, så linierne er parallelle.

Er desuden a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, er linierne parallelle og sammenfaldende.

Regnemaskinen beregner skæringspunktet mellem linierne a₁x + b₁y = c₁ og a₂x + b₂y = c₂.
Ændr værdierne for konstanterne og klik uden for boksen

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Cirklen

En cirkel-periferi er en kurve, der består af de punkter, hvis afstand fra centrum C er konstant = radius r.
Er centrum C(a, b) og radius r, ligger et punkt P(x, y) på cirklen, hvis og kun hvis |CP| = r. D.v.s.

Cirklens ligning: (x – a)² + (y – b)² = r².

Ganges ligningens paranteser ud, fås x² – 2ax + y² – 2by = r² – a² – b². Sammenlignes med ligningen

x² + Ax + y² + By + C = 0

ses, at

–2a = A , –2b = B   og   r² = –C + a² + b².

Hvis –C + a² + b² > 0, forestiller ligningen en cirkel med

Centrum =

(

–A 2

,

–B 2

)

og   radius =

√

–C + A2/4 + B2/4

.

Regnemaskinen beregner centrum og radius for punktmængden x² + Ax + y² + By + C = 0 (hvis de eksisterer).
Ændr værdierne for konstanterne og klik uden for boksen

Her og her og her finder du forskellige interaktive træningsopgaver.

Cirkeltangenter

Da tangenten i P₀ = (x₀, y₀) står vinkelret på CP, bestemmes dens hældningskoefficient af
a_tangent = –1 / a_radius.

a_radius = (y₀ – b) / (x₀ – a) giver a_tangent = (a – x₀) / (y₀ – b). Da desuden (x₀, y₀) ligger på tangenten, er b = y₀ – a_tangentx₀. Tangentens ligning bliver altså

y   =

a – x0 y0 – b

x + y0 –

a – x0 y0 – b

x0.

Regnemaskinen beregner ligningen for tangenten i (x₀, y₀) til cirklen med centrum i (a, b).
Ændr værdierne for konstanterne og klik uden for boksen

Almindelig cirkelgeometri

Uanset, hvor P ligger på buen APB, er vinklen den samme. Man kalder buen for synsvinkelbuen for vinkel P.

Pilhøjde
|CE| = r cos(½centervinkel) = r cos(periferivinkel).
Buen ADB's pilhøjde er stykket |ED|, så

Pilhøjde = r · (1 – cos(½centervinkel)).

Regnemaskinen beregner størrelsen til højre for den ændrede størrelse.
Ændr radius, korde eller pilhøjde og klik uden for boksen
radius = , korde = , pilhøjde =

Arealer
Cirkeludsnittet CADBC's areal er samme brøkdel af p r ² som centervinklen er af 360°, så

Udsnit = p r ² · centervinkel / 360°.

Cirkelafsnittet er arealet af figuren ABDA, som beregnes som forskellen mellem udsnittet og trekanten ABC.

Cirkelafsnit = p r ² · centervinkel / 360° – ½ r ² sin(centervinkel).

Beklager; din browser kan ikke vise applets!

Efter en ide af min ven Jørgen Gant: I en vandret cylindrisk oliebeholder med radius r er oliestanden h. Grafikken viser indholdet (i pct.) som funktion af oliestanden (i enheder af r). f(h) = v – 0.5 sin(2v) p med v = cos–1(1 – h r ). Ændr radius eller højde og klik uden for boksen radius = , højde = giver indhold = %

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Keglesnit

Grafikken viser grafen for ay² + bx² + cxy + dy + ex + f = 0. Se venligst bort fra, at der kan forekomme "dobbeltgraf" p.g.a. regne-problemer

Keglesnit er grafer for andengrads ligninger i x og y:

{P(x, y)| ay² + bx² + cxy + dy + ex + f = 0}

• Er a = b og c = 0, genkender vi cirklens ligning
• Har a og b samme fortegn og er c = 0, får vi akseparallelle ellipser
• Har a og b forskelligt fortegn og er c = 0, får vi akseparallelle hyperbler
• Er a = 0 eller b = 0 og c = 0, får vi akseparallelle parabler
• Er c ≠ 0, får vi ikke-akseparallelle figurer
• Er a = b = c = 0, får vi rette linier

Her er en geometriske behandling af keglesnittene.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]