| |
Da Tycho Brahe døde i Prag i 1601, efterlod han sig et enestående nøjagtigt observationsmateriale. I de sidste 30 år af sit liv havde han og hans assistenter gennemmålt stjernehimlen, så f.eks. planeternes positioner og bevægelser var bestemt med en hidtil uset nøjagtighed på ca. 0.05°. |
Disse data overtog hans elev Johannes Kepler, som var en betydelig større teoretiker end eksperimentalastronom. Ved at analysere Tychos målinger fandt Kepler frem til en mængde "love" for planeternes bevægelser, hvoraf de fleste har vist sig at være rent sludder. Men tre af dem holder vand. Det er
Det blev herefter et påtrængende problem at forstå, hvorfor planeterne netop bevæger sig på denne måde omkring solen. Løsningen kom først i 1687 med Newtons Principia, hvor han ud fra sine love rent geometrisk kunne vise, at løningerne på tolegeme problemet er keglesnit med centrallegemet (solen) i et brændpunkt.
Dette projekt går ud på at vise, at hvis tiltrækningskraften mellem solen og en planet er proportional med masserne og omvendt proportional med afstanden, vil banen adlyde Keplers love.
 |
Vi ser på en ellipse med halv storakse a og eccentricitet e. I geometrien er vist, at |FP| = a – ex. Vi søger et udtryk for r(Θ) = |FP| som funktion af polvinklen Θ. r = a – e(r cos(Θ) + ea) = a(1 – e2) – e r cos(Θ) ellerr(1 + e cos(Θ)) = a(1 – e2) |
| r(Θ) = a | 1 – e2 1 + e cos(Θ) |
, som udtrykker ellipsens ligning i polære koordinater. |
For parabler og hyperbler finder man parameterfremstillingerne
| r(Θ) = | p 1 + cos(Θ) |
og | r(Θ) = a | e2 – 1 1 + e cos(Θ) |
. |
Befinder solen (masse M) sig i koordinatsystemets begyndelsespunkt og planeten (masse m) sig i P(x, y) = r→(Θ), siger Newtons massetiltrækningslov, at kraften på planeten er proportional med masserne og omvendt proportional med kvadratet på afstanden. Da kraften er lig massen gange accelerationen, har vi
| F→(r→) = –k | M m r 2 |
( | cosΘ sinΘ |
) | = –k | M m r 3 |
r→ | = m (r→)" eller (r→)" = –kM | 1 r 3 |
r→ | . |
Krydser vi med stedvektoren r→ på begge sider, fås
| r→ × (r→)" = –kM | r→ × r→
r 3 |
= 0 . |
Ved differentiation finder vi
 |
Fra geometrien ved vi, at krydsproduktet mellem to vektorer måler arealet af det parallelogram, vektorerne udspænder. I vort tilfælde betyder det, at c er det dobbelte af trekanten SPP1, som måler det areal, radiusvektor overstryger pr. sekund. Vi ser, at Kepler 2. lov følger af den Newtonske mekanik og bemærker, at arealhastigheds-sætningen også gælder i alle andre tilfælde, blot kraften er rettet direkte mod eller bort fra origo. |
I det efterfølgende vil vi opfatte r (længden af radiusvektor) som en sammensat funktion r(Θ(t)). Vi bruger ' som tegn på differentiation med hensyn til tiden. Differentieres med hensyn til en anden variabel, vælger vi d../d..-notationen. Vi sætter
| i→ = | ( | cosΘ sinΘ |
) | eller | (i→)' = | ( | –sinΘ cosΘ |
) | Θ' = i^Θ' og dermed |
| ( | –cosΘ –sinΘ |
) | Θ' + | ( | –sinΘ cosΘ |
) | Θ" = –i→ Θ' + i^Θ". |
I dette sprog bliver stedvektor, hastighedsvektor og accelerationsvektor
| Sammenligner vi med Newtons anden lov (r→)" = – | kM r 2 |
i→ , får vi to ligninger |
|
og (2) 2r' Θ' + rΘ" = 0 . |
Vi ser først på (2). Ved division med rΘ' fås
| 2r' Θ' + rΘ" = 0 ⇔ 2 | dr/dt r |
+ | dΘ'/dt Θ' |
= 0 ⇔ 2 | d(ln r) dt |
+ | d(lnΘ' ) dt |
= 0 ⇔ |
| 2ln(r) + ln(Θ' ) = konst ⇔ (3) r 2Θ' = A . |
Dette resultat udtrykker Keplers anden lov om arealhastigheden, idet en trekant med en lille vinkel Θ' og hosliggende sider r har arealet ½Θ'r 2. A måler altså det dobbelte af det areal, radiusvektor overstryger pr. tidsenhed.
Da ellipseligningen udtrykker r som funktion af Θ, er strategien at eliminere tiden af (1) og (2). Indsætter vi (3) i (1), fås
| (4) r" = | A2 r 3 |
– | kM r 2 |
. |
Vi ser nu på r' og finder ved sammensat differentiation
| (5) r' = | dr dΘ |
dΘ dt |
= | dr dΘ |
A r 2 |
= –A | d(1/r) dΘ |
, og dermed |
| (6) r" = | d dΘ |
( | –A | d(1/r) dΘ |
) | dΘ dt |
= | d dΘ |
( | –A | d(1/r) dΘ |
) | A r 2 |
= – | A2 r 2 |
d2(1/r) dΘ2 |
, som med (4) giver |
| A2 r 2 |
d2(1/r) dΘ2 |
= | kM r 2 |
– | A2 r 3 |
eller | d2(1/r) dΘ2 |
= | kM A2 |
– | 1 r |
. |
Sætter vi f = 1/r er ligningen af type f "(x) = k – f(x), som løses af f(x) = c cos(x) + k, så vi finder
| 1 r |
= c cos(Θ) + | kM A2 |
eller r = | 1 c cos(Θ) + kM/A2 |
= | A2/kM 1 + C cos(Θ) |
. |
Ved sammenligning med keglesnit i polære koordinater ses, at banerne bliver keglesnit med excentricitet e = C.
I ellipsetilfældet er
| r(Θ) = a | 1 – e2 1 + e cos(Θ) |
med A2/kM = a(1 – e2) og C = e. |
| En ellipse med halvakserne a og b har arealet π ab, som radiusvektor overstryger på en omløbstid T med arealhastigheden A/2. Vi har altså |
| T = | πab A/2 |
= | 2πa2 A |
√ |
1 – e2 |
, som med | A2 kM |
= a(1 – e2) | giver |
| T2 = | 4π2a4(1 – e2) A2 |
= | 4π2a4(1 – e2) kMa(1 – e2) |
= | 4π2a3 kM |
eller | T2 a3 |
= | 4π2 kM |
. |
Da k og M er naturkonstanter (fælles for al massetiltrækning mod solen),
har brøken T2/a3 samme værdi for alle planeter i
bane om solen.
For andre planetsystemer eller for satelitter i kredsløb om Jorden finder man
naturligvis andre værdier for T2/a3.
I datahåndbogen kan man se, at konstanten k i Newtons gravitationslov
| F→ = –k | Mm r 2 |
r→ r |
har værdien k = 6.67 10–11 Nm2/kg2.
Skemaet viser konstanterne for solsystemets planeter (ifølge "Skriv- og rejse-Kalender" fra
Københavns Observatorium). 1 Astronomisk enhed (A.E.) = 149.6 ·
109m.
|
Ë Denne regnemaskine beregner
værdien af T ud fra a's værdi eller omvendt for bevægelser
omkring solen. Ë Og denne beregner
værdien af T ud fra a's værdi eller omvendt for bevægelser
omkring et vilkårligt centrallegeme. |
 |
Nu vil vi følge planeten p's bevægelse i tidens løb og
tænker os, at den kl. t = 0 er i Pe (perihel: punktet
nærmest solen), og kl. t i P. |
|||||||||
| PeBF = | πa2E 2π |
– | a2e sin(E) 2 |
= | a2 2 |
(E – e sin(E)), og |
| PePF = | b a |
PeBF = | ab 2 |
(E – e sin(E)) | = | πab T |
t eller E – e sin(E) = | 2π T |
t , |
som kaldes Keplers ligning. At løse den, d.v.s.finde E som funktion at t, kræver iteration.
Desuden ser vi af figuren, at
| a cos(E) = ea + r cos(Θ) = ea + | a(1 – e2)cos(Θ) 1 + e cos(Θ) |
eller |
| cos(E) = e + | (1 – e2)cos(Θ) 1 + e cos(Θ) |
= | e + cos(Θ) 1 + e cos(Θ) |
eller cos(Θ) = | cos(E) – e 1 – e cos(E) |
. |
Ved at indsætte dette udtryk for cos(Θ) i ellipseligningen i polære koordinater, fås
 |
Kraften mellem to elektriske ladninger Q1 og Q2 beskrives ved
Coulomb's lov
|
Har de to ladninger forskelligt fortegn, tiltrækker de hinanden med en kraft omvendt proportional med kvadratet på afstanden mellem dem. Situationen er matematisk set den samme som i Keplertilfældet, så også her gælder Keplers tre love.
Men har ladningerne samme fortegn (som da Rutherford beskød guld - atomer med α - partikler), frastøder partiklerne hinanden. I dette tilfælde får vi ligningerne
|
(2) 2r' Θ' + rΘ" = 0 . |
Da arealhastighedssætningen stadig gælder, kan vi gå frem som under Keplers første lov og finder
| (4) r" = | A2 r 3 |
+ | K r 2 |
og dermed | d2(1/r) dΘ2 |
= – | K A2 |
– | 1 r |
, |
som løses af
| 1 r |
= c cos(Θ) – | K A2 |
eller r = | 1 c cos(Θ) – K/A2 |
= | A2/K C cos(Θ) – 1 |
= a | e2 – 1 e cos(Θ) – 1 |
, |
som (også) fremstiller en hyperbel.
Udmærket engelsksproget animation af de tre Keplerske love
Min grafikregner - øvelse om Keplerbevægelse
[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]