Keglesnit

Emner

• Snit i kegler
• Ellipsen
• Parablen
• Hyperblen

Snit i kegler

Parallelprojektion af keglesnit

fi er vinklen mellem planen gennem øjepunktet og z-aksen og x-z-planen. teta er vinklen mellem linien gennem øjepunktet og keglens toppunkt og z-aksen.

Beklager, din browser kan ikke vise applets.

v er snitplanens vinkel med keglens akse. w er keglens halve åbningsvinkel.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Ellipsen

Ellipsen er fastlagt som det geometriske sted for de punkter P, hvis afstande til F₁ og F₂ tilsammen er 2a (a er ellipsens halve storakse). D.v.s.

{P| |PF₁| + |PF₂| = 2a} .

Vi lægger et koordinatsystem ind som vist, hvor P(x, y), F₁(ea, 0) og F₂(–ea, 0). Pythagoras' sætning giver

|PF₂|² = (x + ea)² + y² og |PF₁|² = (x – ea)² + y² .

subtraheres disse ligninger fås PF₂² – PF₁² = (PF₂ + PF₁)(PF₂ – PF₁) = 2a(PF₂ – PF₁) = 4eax, hvoraf

PF₂ – PF₁ = 2ex .

Sammen med PF₂ + PF₁ = 2a giver dette

PF₁ = a – ex og PF₂ = a + ex .

Sammen med y² = PF₂² – (x + ea)² giver dette
y² = a² + e²x² + 2eax – (x² + e²a² + 2eax) = a² + e²x² – x² – e²a² . Dette kan skrives

y² = (a² – x²)(1 – e²) (ellipsens ligning).

e < 1 kaldes excentriciteten. Den er et mål for, hvor fladtrykt ellipsen er.

--ooOoo--

Divideres igennem med a²(1 – e²) = b² (b kaldes den halve lilleakse), fås

x2 a2

+

y2 b2

= 1 .

--ooOoo--

Ellipsen kan tænkes fremkommet ved at en cirkel med radius a er klemt lodret i forholdet b / a. Dette giver en parameterfremstilling for ellipsen

OP→ = r→(t) =

(

f(t) g(t)

)

=

(

a cos(t) b sin(t)

)

,   hvor   t ∈ R.

--ooOoo--

For at finde ligninger for ellipsens tangenter differentierer vi (y² er en sammensat funktion).

2x a2

+

2yy' b2

= 0   eller   y' = –

b2 a2

x y

.

Tangenten med røringspunkt i ( x₀, y₀ ) har ligningen

y = –

b2 a2

x0 y0

( x – x0 ) + y0 .

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Parablen

Parabler som grafer for andengradspolynomier er behandlet her.

Parablen er fastlagt som det geometriske sted for de punkter P, hvis afstande til brændpunktet F og ledelinien l lige store. D.v.s.

{P| |PF| = |Pl|} .

Vi lægger et koordinatsystem ind som vist, hvor P(x, y), F(a, 0) og l: x = –a . Pythagoras' sætning giver

√

( x – a )2 + y 2

= x + a   eller   y2 = 4ax .

--ooOoo--

For at finde ligninger for parablens tangenter, differentierer vi (y² er en sammensat funktion).

2 y y' = 4a   eller   y' = 2a / y .

Tangenten med røringspunkt i ( x₀, y₀ ) har ligningen

y =

2a y0

( x – x0 ) + y0 .

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Hyperblen

Hyperblen er fastlagt som det geometriske sted for de punkter P, hvis afstande til F₁ og F₂ har en forskel på 2a (a er hyperblens halve storakse). D.v.s.

{P| |PF₁| – |PF₂| = ±2a} .

Vi lægger et koordinatsystem ind som vist, hvor P(x, y), F₁(ea, 0) og F₂(–ea, 0). En regning analog med ellipsetilfældet giver

y² = (x² – a²)(e² – 1) (hyperblens ligning).

e > 1 kaldes excentriciteten. Divideres igennem med b² = a²(e² – 1) fås

x2 a2

–

y2 b2

= 1 .

--ooOoo--

For at finde ligninger for hyperblens tangenter differentierer vi (y² er en sammensat funktion).

2x a2

–

2yy' b2

= 0   eller   y' =

b2 a2

x y

.

Tangenten med røringspunkt i ( x₀, y₀ ) har ligningen

y =

b2 a2

x0 y0

( x – x0 ) + y0 .

--ooOoo--

Hyperblens ligning kan skrives

y =

±b

√

x2 / a2 – 1

hvoraf ses, at   y ±

b a

x → 0   for   x → ∞ .

Heraf ses, at linierne

y = ±

b a

x

er skrå asymptoter til hyperblen.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

3d projektion af keglesnit

En keglefrembringer er en linie gennem keglens toppunkt. Når linie roteres, fremkommer keglen. En frembringer har parameterfremstillingen

( x, y, z ) = ( sin(w) cos(t), sin(w) sin(t), cos(w) ) s , hvor   s   og   t   er parametre.

Keglen skæres med en plan gennem P₀( 0, 0, 2 ) med normalvektor n^→ = ( 0, cos(v), sin(v) ). Planens ligning bliver 0 x + cos(v) y + sin(v) (z – 2) = 0. Indsættes frembringerens koordinatudtryk i ligningen , fås cos(v) sin(w) sin(t) s + sin(v) cos(w) s = 2 sin(v), hvoraf

s = 2 sin(v) / [cos(v) sin(w) sin(t) + sin(v) cos(w)]

En parameterfremstilling for skæringskurven fås ved at sætte s-udtrykket ind i parameterfremstillingen for frembringeren.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]