L.Holberg: Erasmus Montanus, 1731, 3.akt, anden scene:
JESPER:Fysikere skelner mellem inertialsystemer og ikke-inertialasystemer. I inertialsystemer
gælder Newtons
love. Det gode spørgsmål er: "Findes der inertialsystemer?" (for ellers er Newtons
love ikke helt så interessante).
Det er en erfaring, at et koordinatsystem med nulpunkt i Solen og akser med faste retninger mod fiksstjerner,
er et inertialsystem. For at få Newtons 2. lov K→ = m ·
a→ til også at holde i ikke-inertialsystemer (f.eks.
roterende koordinatsystemer), indfører man fiktive kræfter. De er på mange
måder sære, f.eks. har en fiktiv kraft ingen reaktion.
Fiktive kræfter opleves kun i ikke-intialsystemer. Et eksempel er karussellen, hvor man oplever en udadrettet centrifugalkraft på grund af rotationen. Set fra karusselstolen er man nemlig i hvile. Altså må der findes en udadrettet kraft, der holder ligevægt med den indadrettede centripetalkraft.
I fysik lærer man (måske) at den tilsvarende centrifugal-acceleration kan beregnes af
| ac = | 4 π2 r T2 |
, hvor r er banens radius og T er omløbstiden i banen. |
Det ligger naturligt for os at beskrive bevægelser i koordinatsystemer, der ligger fast i forhold til jorden. Og det går godt, hvis bevægelsen ikke tager for lang tid. Varer den derimod timer eller længere, må vi tage hensyn til koordinatsystemets rotation.
Bortset fra en tynd skorpe er jorden flydende. Så hvis den ikke roterede, ville den være kugleformet. Massetiltrækningen mellem dens dele ville trække eventuelle fjerne dele ind, så overfladen blev så lille som muligt. Altså en kugle. Overfladen stiller sig vandret d.v.s. vinkelret på tyngden.
| Når væskekuglen roterer, bestemmes overfladens stilling af den kombinerede
virkning af tyngde og centrifugalkraft. I punktet P(x, y) mærker man altså dels en acceleration g (rød) mod jordens centrum, dels en centrifugalacceleration ac (blå). Den samlede acceleration er vist grøn på illustrationen. |
Som den første konsekvens ser vi, at lodlinien ikke længere peger mod jordens centrum C. Der er altså forskel på geografisk bredde (bgeo (A - g - P) på figuren) og astronomisk bredde (bast (A - ares - P) som er lidt større). Forskellen &D;b er vinklen over for ac i trekant (P - ac - ares). 180° – bast ligger også i trekanten. |BP| = R cos( bgeo) er radius i P's bevægelse, så
| ac = | 4 π2 r T2 |
= | 4 π2 R cos( bgeo) T2 |
hvor R er jordens (gennemsnitlige) radius. |
I de følgende regninger lader vi (lidt groft) g pege mod jordens centrum.
Sinusrelationen anvendt på trekant (P - ac - ares)giver
| sin( bast) g |
= | sin( bast – bgeo) ac | eller v.h.a. en additionsformel |
| ac sin( bast) g |
= sin( bast) cos( bgeo) – cos( bast) sin( bgeo) | . |
Ved division med sin( bast) fås
| ac g |
= cos( bgeo) – | sin( bgeo) tan( bast) |
eller | 4 π2 R cos( bgeo) T2 g |
= cos( bgeo) – | sin( bgeo) tan( bast) |
. |
| 4 π2 R T2 g |
= 1 – | tan( bgeo) tan( bast) | , som vi kalder e2. |
For at kunne bestemme en ligning for jordens kurve indlægger vi et koordinatsystem med origo i jordens centrum, 1-akse gennem ækvator og 2-akse mod nordpolen. I dette koordinatsystem er lodliniens hældningskoefficient tan( bast).
| Af 1 – e2 = | tan( bgeo) tan( bast) | ser vi, at lodliniens hældningskoefficient bliver |
| tan( bast) = | tan( bgeo) 1 – e2 |
. |
Da horizonten står vinkelret på lodlinien, er dens hældningskoefficient
| y' = | –1 tan( bast) |
= – | 1 – e2 tan( bgeo) |
= – | x y |
(1 – e2) . |
Denne ligning løses v.h.a. separation
Sætter vi jorden ækvatorradius til a, skal løsningskurven indeholde punktet (a, 0). Det giver, at 0 = –a2(1 – e2) + c, så
som matematikerne kalder en ellipse med halv storakse a og excentricitet e.
Ofte udtrykkes jordens form ved dens fladtrykning f = 1 – b / a, hvor a og b er omdrejningsellipsoidens halvakser. Da
| e2 = 1 – | b2 a2 |
, er | 1 – e2 = (1 – f)2 | . |
Jorden omdrejningstid (i forhold til stjernerne) er 1 stjernedøgn = 86164 sek. Indsættes værdierne R = 6378000 m, T = 86164 sek og g = 9.81 m/sek2 i udtrykket for excentriciteten, fås
| e2 | = | 4 π2 R T2 g |
= | 0.00346 | eller e = 0.059 og dermed f = 0.00173. |
Faktisk er jorden slet ikke nogen omdrejningsellipsoide. Og den bedst tilnærmende omdrejningsellipsoide har f = 1 / 298 = 0.0037, ca. dobbelt så meget, som den enkle models værdi. Den tilsvarende excentricitet er e = 0.082.
Længemål blev i gammel tid fastsat ud fra menneskekroppens dimensioner: tomme (det yderste led af en tommelfinger), fod, alen (en underarm) og favn. Men mennesker er forskellige, så der opstod et behov for standardisering. Under den franske revolution afskaffedes de gamle franske længemål, og erstattedes af meteren (fransk: mål), som skulle være jordens omkreds divideret med 40000000. Herhjemme reformerede Ole Römer i 1700 - tallet mål og vægt og indførte 1 dansk mil = 4 sømil tæt ved 7.5 km.
Siden sekstanten har det været naturligt for søfolk at måle
afstande på havet i f.eks.bueminutter d.v.s. i jordens omkreds divideret
med 360 · 60 kaldet sømil. Hvis jorden var en kugle, ville det være uproblematisk.
Men den er (omtrent) en ellipsoide med halvakserne a = 6378 km og b = 6357 km.
Konsekvensen er, at 1 sømil langs ækvator er 1855.28 m,
hvorimod en sømil målt langs en længdecirkel nær polen er
1849.18 m.
For at komme om ved de mange forskellige definitioner enedes man på en konference 1929 i Monaco om en fælles standard: 1 sømil = 1852 m.
|
Vi synger "I østen stiger solen op", hvilket viser, at jordens rotation foregår mod uret, set fra Nordstjernen. |
Er jordens radius R, vil et punkt på geografisk bredde φ (fi) beskrive en cirkel med radius R cos(φ) = R sin(90° – φ) = R sin(d) i løbet af ét døgn. d kaldes poldistancen. Vinkelhastigheden i bevægelsen kaldes ω (omega) og måles i radianer pr. tidsenhed. Er omdrejningsstiden T, gælder altså
| ω = | 2 π T |
og dermed | v = | 2 π R sin(d) T |
= R sin(d) ω . |
Hastigheden v→ er vinkelret på både jordens akse og på stedvektoren CO→ = r→ fra jordens centrum C til punktet O. Sammenhængen kan udtrykkes ved et vektorprodukt:
hvor ω→ er parallel med jordens omdrejningsakse og peger med nord. Et fast punkt på jorden (og dermed en fast vektor på jorden) differentieres altså ved at danne vektorproduktet med ω→.
Er punktet i bevægelse, kan dets stedvektor r→ opløses i
hvor (x, y) er partiklens position i det lokale koordinatsystem ( O, i→, j→).
Hastigheden findes ved differentiation
Accelerationen findes ved differentiation af hastigheden
Set fra O på den roterende jord er accellerationen
Her er
 |
Vi har set, hvordan centrifugalkraften er ansvarlig for jordens fladtrykning. Nu
interesserer vi os for corioliskraftens indflydelse på forholdende på jorden. Den er opkaldt efter Gaspard Gustave de Coriolis | .
 |
|
 |
I 1851 udførte den franske fysiker
Léon Foucault
et berømt forsøg i Pantheon i Paris. Ideen var at anvende et
Foucault - pendul til at bevise, at jorden roterer.
Pendulet bestod af et lod ophængt i en lang wire,
så det frit kunne svinge i alle retninger. Hvis jorden roterer, giver Coriolis-kraften
en afbøjning mod højre, så pendulet langsomt ændrer svingningsretning.
Man kan vise, at pendulets svingningsplan drejer 360° i løbet af
|
Kirken var valgt, fordi den har en meget høj kuppel, så man kan anbringe et meget langt pendul i den. Coriolis kraften er nemlig så lille, at pendulet skal kunne svinge i mange timer, før effekten kan ses.
På Steno museet kan man se et Foucault pendul i funktion.
Man hører ofte den påstand, at Coriolis - kraften viser sig, når man lader vandet løbe ud af håndvasken. Angiveligt skulle det spiralere mod afløbet højre rundt - eller var det venstre? Men da vandet løber langsomt og kun i kort tid, er effekten forsvindende lille og overdøves af tilfældige strømninger i vandet.
I 1630-erne kom Galilei for inkvisitionen og måtte på sine knæ afsværge sin opfattelse, at jorden bevægede sig. At hav- og luftstrømme faktisk afbøjes mod højre på den nordlige halvkugle, kan opfattes som (det endelige) bevis for, at jorden roterer.
Internetsider om jorden
Internetsider om Coriolis-kraften
Internetsider om Foucaults pendul
[ Hovedmenu ]