Integralregning

Integralregningens opgave er at måle det, der kun vanskeligt kan måles

Emner

Andet

Arealberegning

Skal man beregne arealet af en figur, der ikke udelukkende er begrænset af rette linier, må man anvende integralregning.

I grafikken herunder er der brugt "D" i stedet for "Δ".

Beklager; din browser kan ikke vise applets!

Vi tror på, at der findes et areal begrænset af 1-aksen, linierne x = a og x = b samt grafen for funktionen f(x). Opgaven går ud på at beregne det.

Vi forudsætter, at f(x) er kontinuert i [a; b] samt at f(x) > 0 i intervallet, og vi indfører arealfunktionen A(x0), som måler arealet under grafen fra x = a til x = x0.

Når x0 får tilvæksten Δx, får A(x0) tilvæksten ΔA(x0) (vist med hvidt på figuren). Vi bemærker, at ΔA(x0) og Δx har samme fortegn. Arealtilvæksten har form som et (skråt afskåret) rektangel med bredde Δx. Jo mindre Δx er, jo mere nærmer f(x0)·Δx sig til ΔA(x0). Det vil sige

Altså er A(x) differentiabel med differentialkvotienten f(x). Med andre ord er A(x) en stamfunktion til f(x).

Dem har en kontinuert funktion mange af. Problemet er at finde "den rigtige", d.v.s. den, der er 0 i x = a. Lad os kalde en tilfældig af f(x)'s stamfunktioner F(x). Vi ved, at alle f(x)'s stamfunktioner kun adskiller sig fra hinanden ved konstanter, så der må findes et tal k, så A(x) = F(x) + k.
Af A(a) = 0 slutter vi, at F(a) + k = 0 eller k = –F(a). Vi har nu

Det søgte areal under grafen er følgelig

Dette vigtige resultat skrives i litteraturen på forskellige måder

Udtrykket læses "det bestemte integrale af f(x) fra a til b".

--ooOoo--

Nu er det klart, at hvis f(x) ≥ g(x) ≥ 0 i intervallet [a; b], er arealet mellem dem

idet F(x) – G(x) er en stamfunktion til f(x) – g(x).

Hvis derimod graferne krydser hinanden i f.eks. c, så f(x) ≥ g(x) i intervallet [a; c] og g(x) ≥ f(x) i intervallet [c; b], må integrationen deles i to

--ooOoo--

Hvis grafen for f(x) ligger under 1-aksen, kan arealet mellem grafen og aksen findes ved at spejle grafen over i grafen for funktionen g(x) = –f(x), som ligger over 1-aksen. På grund af symmetrien er de to arealer lige store

idet –F(x) er en stamfunktion til –f(x).

Buelængde

Er f(x) differentiabel og Δx "lille", er længden af buestykket

Buestykket fra x = a til x = b findes ved at integrere

Rumfangsberegning

Roteres kurvestykket mellem x = a og x = b 360° om 1-aksen fremkommer et omdrejningslegeme. Vi kan beregne dets volumen (rumfang) efter samme ide som ved beregning af arealet under grafen.

Vi indfører volumenfunktionen V(x0), som måler rumfanget fra x = a til x = x0.

Når x0 får tilvæksten Δx, får V(x0) en tilvækst, som minder om en keglestub med højde Δx og grundfladeareal π f 2(x0). Vi ser, at ΔV(x0) ≈ π f 2(x0)Δx.
Jo mindre Δx er, jo mere nærmer π f 2(x0)Δx sig til ΔV(x0). Det vil sige

Altså er V(x) differentiabel med differentialkvotienten π f 2(x). Med andre ord er V(x) en stamfunktion til π f 2(x).

På tilsvarende måde som ved arealberegning, når vi resultatet

Cirkler og kugler

En cirkel med radius x har omkredsen 2πx. Øges radius med Δx, øges cirklens areal med en strimmel, hvis areal er ca. 2πx Δx. Vi udtrykker det ved at skrive

Har cirklen radius r, finder vi dens areal ved at integrere

Kugler

Cirklen x2 + y2 = r2 er graf for ligningerne

Roteres en af buerne om 1-aksen fås en kugle med rumfang

Differentieres rumfanget V(r) = 4/3 π r 3 med hensyn til r fås V'(r) = 4 π r 2, eller dV(r) = 4 π r 2dr, som er rumfangsforøgelsen, hvis r øges med dr. Vi slutter, at

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Regneregler

Følgende regneregler for ubestemte integraler vises ved at gøre integrationsprøven:

Regnereglerne for bestemte integraler vises ud fra, at

Her er et program, der kan finde bestemte integraler til "alle" funktioner.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Middelværdisætningen

Er f(x) > 0 i intervallet [a, b], måler ∫abf(x)dx arealet under grafen. Det er intuitivt klart, at arealet kan "glattes ud" til et rektangel med bredde b – a og en slags gennemsnitshøjde mellem funktionens mindste og størsteværdier. Er f(x) desuden kontinuert på intervallet [a, b], har vi af kontinuitetssætningerne, at der findes et c i [a, b], hvor f(c) er gennemsnitshøjden. Altså

Er f(x) kontinuert og < 0 ét eller flere steder i [a, b], finder vi et k, så g(x) = f(x) + k > 0 i [a, b]. Vi har nu
Der findes c i [a, b], så g(c)·(b–a) = ∫abg(x)dx eller (f(c)+k)(b–a) = ∫ab(f(x)+k)dx eller f(c)(b–a) = ∫abf(x)dx .

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Integraler og summer

Vi vender tilbage til problemet om at bestemme arealet under grafen for f(x) fra linien x = a til linien x = b.

Som et første bud kunne man tænke sig at dele intervallet [a; b] op i f.eks. n lige store stykker Δx = (b – a) / n. Vi kalder delepunkterne x0 = a , x1 , x2 , ... , xi , ... , xn = b . Lodrette linier gennem delepunkterne skærer det søgte areal op i n strimler, der opadtil er afgrænset af grafen.

Skærer vi hver søjle vandret af i højde = f(delintervallets venstre endepunkt) og adderer bidragene, får vi venstresummen Vsum

Skærer vi hver søjle vandret af i højde = f(delintervallets højre endepunkt) og adderer bidragene, får vi højresummen Hsum

Ofte (f.eks. for monotone funktioner) er gennemsnittet af funktionsværdierne i endepunkterne et bedre mål for strimlens gennemsnitshøjde. Den tilsvarende sum kaldes trapezsummen Tsum

Beklager; din browser kan ikke vise applets!

Er f(x) kontinuert i intervallet [a; b], er der grænser for, hvor meget funktionsværdierne kan variere i et delintervel. Jo mindre delintervallerne er, jo mindre forskel gør det, om man i summerne benytter den ene eller den anden funktionsværdi i intervallet. Det betyder, at

Simpsons formel

Vi ser på funktionen f(x) = x2 i intervallet [a; b].

Vi får brug for funktionsværdierne i intervalendepunkterne og midtpunktet:
f(a) = a2 , f(x1) = (a + b)2 / 4 = (a2 + 2 ab + b2) / 4 , f(b) = b2, hvoraf
ab = –½a2 + 2 f(x1) – ½b2 og Δx = ½(b – a)

Arealet under grafen er
(b3 – a3) / 3 = 1/3 (b – a)(a2 + ab + b2) = 2/3 Δx [ f(a) – ½a2 + 2 f(x1) – ½b2 + f(b) ] =
1/3 Δx [ f(a) + 4 f(x1) + f(b) ].

Hvis vi i stedet 4-deler intervallet, får vi

Areal = (b3 – a3) / 3 = 1/3 Δx [ f(a) + 4 f(x1) + f(x2) ] + 1/3 Δx [ f(x2) + 2 f(x3) + f(b) ] =
1/3 Δx [ f(a) + 4 f(x1) + 2 f(x2) + 4 f(x3) + f(b) ] .

Fortsættes denne proces, fås Simpsons formel

Areal = 1/3 Δx [ f(a) + 4 f(x1) + 2 f(x2) + 4 f(x3) + 2 f(x4) + 4 f(x5) + ... + 4 f(x2n–1) + f(b) ].

Denne formel beregner arealet under andengradspolynomier eksakt, men for andre (ikke for vilde) funktioner giver den gode resultater, jo bedre, jo mindre Δx.

Her er et TI83 - projekt om integraler og summer.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Uegentlige integraler

Er én eller begge integralets grænser ±∞, taler man om uegentlige integraler. De fastlægges som grænseværdier f.eks.

Beviser

Partiel integration

Vi viser sætningen ved at differentiere højre side:

[ F(x) · g(x) – ∫F(x) · g'(x) dx ]' = [ F(x) · g(x) ]' – F(x) · g'(x) =
F'(x) · g(x) + F(x) · g'(x) – F(x) · g'(x) = f(x) · g(x) .

Altså er F(x) · g(x) – ∫F(x) · g'(x) dx en stamfunktion til f(x) · g(x) .

Substitution

Ifølge sætningen om differentiation af sammensatte funktioner er
F'(t) = [ F(g(x)) ]' = F'(g(x)) · g'(x) = f(g(x)) · g'(x) .

Altså er F(t) en stamfunktion til f(g(x)) · g'(x) .

Resultatet skrives ofte på kompakt form

idet d(g(x)) = g'(x) dx .

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]