Regnemaskinen regner om mellem vinkler og deres sin- , cos- og tan - værdier.Ændr værdierne for v , sin(v), cos(v) eller tan(v) og klik uden for boksen
Geometri betyder "jordmåling". Ordvalget skyldes, at man i de gamle flodkulturer (Ægypten, Babylon og ved Yangtze-floden) har måttet opfinde metoder til f.eks. at genskabe markskel efter de årlige oversvømmelser.
Trigonometri betyder "trekantsmåling".
Vinkler måles fra gammel tid i grader °. Der går 360° på en fuld cirkel. (Der findes andre vinkelmål f.eks. radian-målet, hvor 2π (*) radianer svarer til 360°.) Husk at indstille lommeregneren på det rigtige vinkelmål.
Vinkler under 90° kaldes spidse; over 90° kaldes stumpe.
Når to linier skærer hinanden, opstår der fire vinkler, som to og to er lige store. En vinkel og dens "nabo" (supplementvinkel) er tilsammen 180°.
Af alle krumme figurer er cirklen den mest grundliggende. Sinus (sin) og cosinus (cos) er opfundet, for at vi kan holde rede på koordinaterne til et punkt på en cirkelperiferi.
Til indledning ser vi på en cirkel med radius = 1 (en enhedscirkel)
placeret med centrum i koordinatsystemets nulpunkt (0, 0).
Pv er det punkt på periferien, man når til ved at dreje
P0 (1, 0) vinklen v om centrum.
cos(v) , sin(v) og tan(v) er fastlagt ved, at
| Pv har koordinaterne (cos(v) , sin(v)) og tan(v) = |
sin(v) cos(v) |
. |
Regnemaskinen regner om mellem vinkler og deres sin- , cos- og tan - værdier.
Ændr værdierne for v , sin(v), cos(v) eller tan(v) og klik uden for boksen
Her kan du læse mere om trigonometriske funktioner.
Her
finder du en anden interaktiv illustration af sin og cos på enhedscirklen.
Der er tradition for at kalde de to korte sider i en retvinklet trekant kateter
og den lange hypotenuse.
Kalder vi kateterne a og b og hypotenusen c, gælder
Pythagoras' sætning:
 I en retvinklet trekant er a2 + b2 = c2. |
På grund af symmetrien er den indre firkant et kvadrat. Det store kvadrats areal er lig areal af fire trekanter + det indre kvadrats areal.
Regnemaskinen beregner værdien til højre for den ændrede
størrelse.
Ændr værdierne for a , b eller c og klik uden for boksen
Afstanden mellem punkterne A(x1, y1) og B(x2, y2) beregnes ifølge Pythagoras' sætning:
| |AB| = | √ |
(x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 |
. |
Her finder du forskellige
interaktive illustationer af Pythagoras' sætning.
På figuren er enhedscirklen med centrum i A tegnet. Den skærer AB i et punkt, hvorfra den vinkelrette på AC er tegnet. Derved opstår en (lille) retvinklet trekant med hypotenuse = 1 og kateterne cos(A) og sin(A). trekant ABC er ensvinklet med den lille Δ i enhedscirklen. Forstørrelsesfaktoren er c / 1 = c, så
|
I en retvinklet trekant er der to spidse vinkler og to kateter. For ikke at tage fejl betragter vi trekanten fra en af de spidse vinkler. Set fra en spids vinkel er den ene katete (den nærmeste) hosliggende og den fjerne modstående. Kalder vi kateterne for hosl og modst og hypotenusen hyp gælder:
| sin(spids vinkel) = | modst hyp |
, | ||
| cos(spids vinkel) = | hosl hyp |
, | ||
| tan(spids vinkel) = | modst hosl |
. |
Regnemaskinerne beregner værdien til
højre for den ændrede størrelse.
Ændr en af værdierne og klik uden for boksen
Regnemaskinen beregner de ukendte størrelser i en retvinklet trekant.
Kateten k1 ligger over for vinkel v1,
k2 ligger over for vinkel v2,
og hyp er hypotenusen. Reset mellem hver kørsel.
Indtast 2 af værdierne for k1, v1, k2,
v2 eller hyp (mindst én side) og klik uden for boksen
I dette afsnit ser vi på egenskaber, der er fælles for alle trekanter.
Linien DE er tegnet gennem C parallel med linien AB.
|
To trekanter kaldes ensvinklede, hvis deres vinkler er parvis ens.
Man kan forestille sig den ene (originalen) lagt i en kopimaskine. På maskinens tastatur
sættes en forstørrelsesfaktor k, så alle sider i kopien bliver
k gange så store, som de tilsvarende i originalen.
Ser vi originalen som begyndelsesværdi og kopien som slutværdi, ligner
forstørrelsesfaktor k fremskrivningsfaktoren.
Der gælder altså følgende mellem siderne a , b og c i originalen
og de tilsvarende a1 , b1 og c1 i kopien:
a1 = k · a , b1 = k · b og c1 = k · c eller k = |
a1 a |
= |
b1 b |
= |
c1 c |
. |
Regnemaskinen beregner værdien til
højre for den ændrede størrelse.
Ændr én af værdierne og klik uden for boksen
En højde h i en trekant er en linie fra en vinklespids, der står vinkelret på en side i trekanten. I en trekant er der tre højder.
Areal. Kalder vi den side, højden står vinkelret på for grundlinie g, kan trekantens areal T bestemmes af
Regnemaskinen beregner værdien til
højre for den ændrede størrelse.
Trekanten på grafikken ovenover består af to retvinklede trekanter ACD og BCD. Den fælles højde CD kan udtrykkes ved
| sin(A) a |
= | sin(B) b |
= | sin(C) c |
. |
(Det sidste lighedstegn indses ved at se på en anden højde i trekant ABC).
Trekantens areal er
Sinusrelationen kan bruges til at finde ukendte størrelser i en trekant. Vær opmærksom på, at der kan blive to løsninger, hvis man skal finde en vinkel ud fra sinusrelationen.
Regnemaskinen beregner ukendte sider eller
vinkler v.h.a. sinusrelationen.
Ændr værdierne for side1 , vinkel1 og
side2 eller vinkel2 og klik uden for boksen
Ændr en trekantside, den mellemliggende
vinkel eller trekantens areal og klik uden for boksen.
Regnemaskinen beregner værdien til højre for den ændrede størrelse.
Højden i trekanten deler siden c i to stykker.
På tilsvarende måde ses, at
Heraf følger cosinusrelationen
Også cosinusrelationen bruges til at beregne ukendte størrelser ud fra kendte.
Vi ser specielt, at hvis i en trekant a2 + b2 = c2, er cos(C) = 0, så trekanten er retvinklet (den omvendte Pythagoræiske sætning).
Regnemaskinen beregner værdien af vinklen
vinkel3 over for side3, hvis en sidelængde
ændres. Ændres vinkel3, beregnes side3.
En median i en trekant er en linie fra en vinkelspids til midtpunktet af den modstående side. I ΔABC har medianerne AMa og BMb skæringspunktet D. ΔAMcC og ΔEDC er ensvinklede og ΔMcBC og ΔDFC er ensvinklede. Heraf følger
|
Trekanterne MbDMa og ADB er ensvinklede med forstørrelsesfaktoren 2. Derfor deler D en median i to stykker, der forholder sig som 1 til 2.
En vinkelhalveringslinie i en trekant er en linie fra en vinkelspids, der halverer vinklen. ΔABCs indskrevne cirkel rører trekantens 3 sider indvendigt. Dens centrum D må ligge på alle tre vinkelhalveringslinier, som altså må skære hinanden i samme punkt. Dens radius r = |DE| er fælles høje i de trekanterne ΔADB, ΔACD og ΔDCB. Det samlede areal er ½r(a+b+c) = ½bc sin A, hvoraf
|
En midtnormal til et liniestykke er en linie gennem midtpunktet af
liniestykket og vinkelret på det.
I ΔABC har midtnormalerne DMa og DMb
skæringspunktet D.
ΔABC's omskrevne cirkel må have centrum på begge
midtnormaler. D ligger altså også på AB's midtnormal.
|
Uden om ΔABC er tegnet en trekant ΔA1B1C1 ved gennem A at tegne en linie parallel med BC o.s.v. ΔABC's højder ligger på ΔA1B1C1's midtnormaler, og skærer altså hinanden i samme punkt D. |