Funktioner

Matematikken bruger funktioner til at beskrive størrelser, der "hænger sammen", så en ændring af den ene medfører en ændring af den anden.

Emner

• Generelt om funktioner
• Proportionalitet og omvendt proportionalitet
• Lineære funktioner
• Bedste lineære funktion
• Generel regnemaskine til lineære funktioner
• Numerisk værdi |x|
• Andengrads polynomier
• Grafens toppunkt
• Polynomier
• Eksponentielle funktioner
• Bedste eksponentielle funktion
• Fordobling og halvering
• Generel regnemaskine til eksponentielle funktioner
• Logaritmefunktionen
• Potensfunktioner
• Bedste potensfunktion
• Generel regnemaskine til potens funktioner
• Trigonometriske funktioner
• Hyperbolske funktioner
• Sammensatte funktioner
• Omvendt funktion
• Iteration
• Grafplotter

Generelt om funktioner

Der er tradition for at skrive y = f(x), hvis y er en funktion af x. Symbolet skal forstås på den måde, at hvis x ændres, trækker det ændringer af y med sig. Denne rollefordeling understreges af, at man kalder x den uafhængige variable og y den afhængige variable.
Man må være forberedt på andre variabelnavne end x og y.

Sammenhængen mellem x og y kan være oplyst på flere måder
-   tabel, der indeholder sammenhørende x- og y-værdier
-   graf, hvor typisk x er afsat ud ad 1-aksen (vandret) og y ud ad 2-aksen.
      Husk, at x-værdien hører til på 1-aksen og y-værdien eller f(x)-værdien på 2-aksen.
-   regneforskrift, hvor y's værdier kan beregnes ud fra x's værdier.

Begreber

Grafen for en funktion er mængden af punkter (x, f(x)) i et koordinatsystem.
Definitionsmængde Dm(f) er mængden af "lovlige" x-værdier.
Værdimængden Vm(f) er mængden af y- værdier, der fremkommer, når x løber gennem alle de lovlige værdier.
Voksende: Et "højreskridt" på grafen giver et "opadskridt". x₂ > x₁ giver f(x₂) > f(x₁).
Aftagende: Et "højreskridt" på grafen giver et "nedadskridt". x₂ > x₁ giver f(x₂) < f(x₁).
Monoton: Funktionen er enten voksende eller aftagende i hele sin definitionsmængde.
Størsteværdi max(f): Den største værdi, funktionen antager i sin definitionsmængde.
Mindsteværdi min(f): Den mindste værdi, funktionen antager i sin definitionsmængde.
Ekstremer: Fællesbetegnelse for en funktions største- og mindsteværdier.

Det generelle funktionskrav:. Til hvert x i Dm(f) skal findes ét og kun ét y i Vm(f).

Ændringer:. Ændres x fra x₁ til x₂, er ændringen Δx = x₂ – x₁. Den tilsvarende y-ændring er Δy = y₂ – y₁ = f(x₂) – f(x₁). Vi vil også bruge formuleringer som Δy = Δf(x) = f(x + Δx) – f(x).

Parallelforskydning af grafer

Vi ser på den parallelforskydning af planens punkter, der bringer (0, 0) over i (a, b). Parallelforskydningen bringer et kurvepunkt (x, f(x)) over i (x+a, f(x)+b) og dermed (x–a, f(x–a)) over i (x, f(x–a)+b). Den parallelforskudte graf er derfor graf for funktionen f_p(x) = f(x–a) + b.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Proportionalitet og omvendt proportionalitet

Proportionaliteter og omvendte proportionaliteter er de funktioner, man oftest møder i natur- og samfundsbeskrivelser.

"Proportional" betyder "i samme forhold som". At to størrelser er proportionale betyder, at der findes et tal a, så den ene er a gange den anden.

y og x er proportionale:   y = a · x.

Grafen for en proportionalitet er en ret linie gennem (0, 0).

y og x er omvendt proportionale, hvis deres produkt er konstant.

y og x er omvendt proportionale:   y · x = a.

Grafen for en omvendt proportionalitet er en hyperbel.

Grafikken forestiller funktionerne   f(x) = a · x   og   g(x) = a / x

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Lineære funktioner

En funktion kaldes lineær, hvis dens regneforskrift er af form f(x) = a · x + b, hvor a og b er tal. Er specielt b = 0, er funktionen en proportionalitet.
Lineære funktioner kaldes også førstegrads polynomier.

Hældningskoefficienten   a

Vi ser på to "nabopunkter" (x, y) og (x + 1, y₁) på grafen for f(x) = a · x + b

x x x + 1 f(x) y = a · x + b y1 = a · (x + 1) + b = a · x + b + a = y + a

Tabellen viser, at y vokser med a, når x vokser med 1. f er vokser, hvis a > 0 f er aftagende, hvis a < 0.

Vi ser på to grafpunkter (x₁, y₁) = (x₁, a · x₁ + b) og (x₂, y₂) = (x₂, a · x₂ + b). Når x ændres fra x₁ til x₂, er den tilsvarende y-ændring y₂ – y₁ = a · x₂ + b – (a · x₁ + b) = a(x₂ – x₁).

x x1 x2 f(x) y1 = a · x1 + b y2 = a · x2 + b

Vi ser, at a = y2 – y1 x2 – x1 .

Hældningskoefficienten a er altså (generelt) forholdet mellem y-ændringen og x-ændringen.

Udtrykt med ændringssymbolet Δ skriver vi ændringerne Δx = x₂ – x₁ og Δy = y₂ – y₁, så

a =

Δy Δx

.

Er specielt Δx = 1, bliver (som vi har set) a = Δy.

b's betydning

Sætter vi x = 0 i regneforskriften, får vi y = f(0) = a · 0 + b = b, så punktet (0, b) ligger på grafen. D.v.s. grafen skærer 2-aksen i et punkt i højden b. b beregnes af

b = y₁ – a · x₁.

Lægger vi en retvinklet trekant (x₁, y₁) , (x₂, y₂) og (x₂, y₁) ind, ser vi, at
Δy / Δx = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁) = a = tan(v), hvor v er vinklen fra førsteaksen til hypotenusen.
Alle sådanne trekanter, vi kan lægge ind, har altså parallelle hypotenuser. Følgelig danner grafens punkter en ret linie.

Regnemaskinen beregner værdien til højre for den ændrede størrelse i ligningen y = a · x + b.
Ændr værdierne for a , b , x eller y og klik uden for boksen
a: b: x: y:

Denne regnemaskine giver dig en regneforskrift for den lineære funktion, hvis graf indeholder punkterne (x₁, y₁) og (x₂, y₂).
Ændr værdierne for x₁ , y₁ , x₂ eller y₂ og klik uden for boksen.
(x₁, y₁) = ( , )   og   (x₂, y₂) = ( , )   giver f(x) = · x +
Indtast x eller y og klik uden for boksen. x = y =

Her og her finder du forskellige interaktive træningsopgaver.

Her er teorien for bedste rette linie gennem et antal punkter gennemgået.

Denne regnemaskine giver dig ligningen for den bedste rette linie gennem et antal punkter. Jo nærmere fit er ved 1, jo bedre overensstemmelse.

Generel regnemaskine til lineære funktioner

Regnemaskinen beregner ukendte størrelser i en lineær sammenhæng.
Punkterne (x₁, y₁) og (x₁, y₁) ligger på grafen for f(x) = a· x + b.
Reset mellem kørsler.
Indtast nogle af værdierne for x₁, y₁, x₂, y₂, a eller b og klik uden for boksen

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Numerisk værdi |x|

Numerisk værdi eller absolut (abs) værdi er en stykkevis lineær funktion. Man skriver abs(x) = |x|.

Regneforskriften er fastlagt ved

abs(x) = |x| = {

x   hvis   x ≥ 0 –x   hvis   x < 0

.

Grafikken illustrerer, at afstanden mellem to punkter A og B med koordinaterne a og b (altid) er |AB| = abs(a – b) .

Kvadratroden at et tal er et positivt tal (eller nul). Altså er

√

a2

=   |a|.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Andengrads polynomier

En funktion kaldes et andengrads polynomie, hvis dens regneforskrift er af form f(x) = a · x² + b · x + c, hvor a ≠ 0 , b og c er tal.

Grafens eventuelle skæringspunkter med 1-aksen, findes ved at løse andengradsligningen a · x² + b · x + c = 0.

Har andengradspolynomiet rødderne x₁ og x₂, kan det faktoriseres;

a · x² + b · x + c = a(x – x₁)(x – x₂) = a x² – a (x₁ + x₂) x + a x₁x₂ , hvoraf
x₁ + x₂ = –b / a og x₁x₂ = c / a.

Toppunktet. Grafen skærer linien y = c i punkterne bestemt ved a x² + b x = x(ax + b) = 0, d.v.s. i punkterne x = –b/a og x = 0. Parablens toppunkt T må ligge midt mellem dem, så x_T = –b/2a. Dets andenkoordinat findes ved at indsætte x_T i andengradspolynomiet
y_T = a(–b/2a)² + b(–b/2a) + c = b²/4a – 2b²/4a + 4ac/4a = –(b² – 4ac)/4a = –d/4a, hvor vi har sat
d = b² – 4ac.

T = (

–b 2a

,

–d 4a

) .

Den grønne parabel med toppunkt i (0, 0) er graf for andengradspolynomiet a · x². Er a > 0, vender grenene opad; er a < 0, vender grenene nedad.
Grafen for andengradspolynomiet a · x² + b · x + c fremkommer af a · x² ved en parallelforskydning, der flytter (0, 0) over i (x_T, y_T). vi finder

y = a (x – x_T)² + y_T = a x² – 2ax_T x + a x_T² + ay_T = a · x² + b · x + c , hvoraf
–2ax_T = b   og   a x_T² + y_T = c. Vi finder

xT =

–b 2a

og   yT = c – axT2 = c –

b2 4a

= –

b2 – 4ac 4a

.

Toppunktets koordinater bliver altså

(xT, yT) =

(

–b 2a

, –

b2 – 4ac 4a

)

= (

–b 2a

,

–d 4a

) .

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Eksponentielle funktioner

En funktion kaldes eksponentiel, hvis dens regneforskrift er af form f(x) = b · a^x, hvor a og b er positive tal.
Er specielt b = 1, så f(x) = a^x, taler man om en eksponentialfunktion.

Fremskrivningsfaktoren   a

Vi ser på to "nabopunkter" (x, y) og (x + 1, y₁) på grafen for f(x) = b · a^x

x x x + 1 f(x) y = b · ax y1 = b · ax+1 = b · ax · a = y · a

Tabellen viser, at y ganges med a, når x vokser med 1. Derfor kaldes a fremskrivningsfaktoren. f er voksende, hvis a > 1 f er aftagende, hvis 0 < a < 1.

Vi ser på to grafpunkter (x₁, y₁) = (x₁, b · a^x₁) og (x₂, y₂) = (x₂, b · a^x₂).

x x1 x2 f(x) y1 = b · ax1 y2 = b · ax2

y2 y1 = ax2 ax1 = ax2–x1   giver   a   =   x2–x1 √ y2 y1 .

Når x ændres fra x₁ til x₂, er ændringen Δx = x₂ – x₁, så y₂ = y₁ · a^Δx.

b's betydning

Sætter vi x = 0 i regneforskriften, får vi y = f(0) = b · a⁰ = b, så punktet (0, b) ligger på grafen. D.v.s. grafen skærer 2-aksen i et punkt i højden b. b beregnes af

b =

y1 ax1

.

Regnemaskinen beregner værdien til højre for den ændrede størrelse i ligningen y = b · a^x.
Ændr værdierne for b , a , x eller y og klik uden for boksen

Denne regnemaskine giver dig en regneforskrift for den eksponentielle funktion, hvis graf indeholder punkterne (x₁, y₁) og (x₂, y₂).
Ændr værdierne for x₁ , y₁ , x₂ eller y₂ og klik uden for boksen.

Enkeltlogaritmisk papir er funktionspapir, hvor andenaksen er logaritmisk, så grafen for en eksponentiel funktion bliver en ret linie. Man kan altså afgøre, om en funktion er eksponentiel ved at plotte støttepunkter til grafen på enkeltlogaritmisk papir.
Jo nærmere punkterne ligger ved en ret linie, jo mere "eksponentiel" er funktionen.

Denne regnemaskine giver dig ligningen for den bedste eksponentielle kurve gennem et antal punkter. Jo nærmere fit er ved 1, jo bedre overensstemmelse.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

T2 =

log(2) log(a)

og   T½ =

log(½) log(a)

.

Lader vi T være en fællesbetegnelse for T₂ og T_½, har vi

aT = {

2   for voksende funktioner ½   for aftagende funktioner

f(x) = {

b ·ax = b (aT)x/T = b · 2x/T   for voksende funktioner b · (½)x/T   for aftagende funktioner

Ændr værdien for a eller T₂ (T_½) og klik uden for boksen
a: T₂ :
a: T_½:

Her finder du forskellige interaktive træningsopgaver.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Logaritmefunktionen

Logaritmefunktionen log(x) er den omvendte funktion til f(x) = 10^x. D.v.s. at x = 10^log(x) = log(10^x)
Af 10⁰ = 1 ser vi, at log(1) = 0. Og 10¹ = 10 giver log(10) = 1 o.s.v.
Vi ser, at 10^{log(x · y)} = x · y = 10^log(x) · 10^log(y) = 10^{log(x)+log(y)} ifølge potensregnereglerne. Altså er

log(x · y) = log(x) + log(y).

0 = log(1) = log(a / a) = log(a · a^–1) = log(a) + log(1 / a) giver, at

log(1 / a) = –log(a).

Logaritmisk skala

Anvendes logaritmefunktionen på   y = b · a^x , fås log(y) = log(a) · x + log(b). Sætter vi Y = log(y), har vi

Y = log(y) = log(a) · x + log(b),

som viser, at x - Y - grafen er en ret linie.

En skala, hvor tallet y er afsat ud for koordinaten Y = log(y) , kaldes en logaritmisk skala.

Da man kun kan tage logaritmen til tal > 0, indeholder en logaritmisk skala hverken tallet 0 eller negative tal.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Potensfunktioner

Potensfunktioner har regneforskrifter af type

f(x) = b · x^a, Dm(f) = R₊, hvor a og b > 0 er tal.

Eksempler er a ·x, a / x, x² og √x.

Indeholder grafen punkterne (x₁, y₁) = (x₁, b · x₁^a) og (x₂, y₂) = (x₂, b · x₂^a), er

log(b) + a log(x₁) = log(y₁)   og   log(b) + a log(x₂) = log(y₂).

Trækkes den første fra den sidste, har vi a · (log(x₂) – log(x₁)) = log(y₂) – log(y₁), så

a =

log(y2) – log(y1) log(x2) – log(x1)

og   b =

y1 x1a

.

Denne regnemaskine giver dig en regneforskrift for den potens funktion, hvis graf indeholder punkterne (x₁, y₁) og (x₂, y₂).
Ændr værdierne for x₁ , y₁ , x₂ eller y₂ og klik uden for boksen.

Dobbeltlogaritmisk papir

Anvendes logaritmefunktionen på   y = b · x^a , fås log(y) = a · log(x) + log(b) . Sætter vi X = log(x) og Y = log(y) , har vi

Y = a · X + log(b) ,

som viser, at X , Y - grafen er en ret linie.

Dobbeltlogaritmisk papir er funktionspapir, hvor begge akserne er logaritmiske, så grafen for en potensfunktion bliver en ret linie. Man kan altså afgøre, om en funktion er en potensfunktion ved at plotte støttepunkter til grafen på dobbeltlogaritmisk papir.
Jo nærmere punkterne ligger ved en ret linie, jo mere "potent" er funktionen.

Bedste potensfunktion

Denne regnemaskine giver dig ligningen for den bedste potensfunktion gennem et antal punkter. Jo nærmere fit er ved 1, jo bedre overensstemmelse.

Generel regnemaskine til potensfunktioner

Regnemaskinen beregner ukendte størrelser i en potens sammenhæng.
Punkterne (x₁, y₁) og (x₁, y₁) ligger på grafen for f(x) = b· x^a.
Reset mellem kørsler.
Indtast nogle af værdierne for x₁, y₁, x₂, y₂, a eller b og klik uden for boksen

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Trigonometriske funktioner

Radianer

Beklager; din browser kan ikke vise applets!

I dette afsnit regner vi vinkler i radianer. D.v.s. at vinkler måles ved deres buer på enhedscirklen. 2π radianer svarer til 360°.

Denne regnemaskine regner om mellem grader og radianer.
Ændr en af værdierne for v° og v^radianer og klik uden for boksen.
v° = ° svarer til v^radianer = ^radianer.

Sinus, cosinus og tangens

Da cos(x) og sin(x) er defineret som koordinaterne til retningspunktet P_x på enhedscirklen, er

P_x = (cos(x) , sin(x)).

cos(x) og sin(x)

Overgangsformlerne

Da P_x og P_2π+x ligger samme sted er

cos(2π + x) = cos(x) , sin(2π + x) = sin(x)   og   tan(2π + x) = tan(x).

Da P_x og P_–x ligger symmetrisk om 1-aksen er

cos(–x) = cos(x) , sin(–x) = –sin(x)   og   tan(–x) = –tan(x).

Da P_x og P_π–x ligger symmetrisk om 2-aksen er

cos(π–x) = –cos(x) , sin(π–x) = sin(x)   og   tan(π–x) = –tan(x).

Da P_x og P_π+x ligger symmetrisk om (0, 0) er

cos(π+x) = –cos(x) , sin(π+x) = –sin(x)   og   tan(π+x) = tan(x).

Da P_x og P_π/2–x ligger symmetrisk om linien y = x , er

cos(π/2–x) = sin(x) , sin(π/2–x) = cos(x)   og   tan(π/2–x) = 1 / tan(x).
cos(π/2+x) = –sin(x) , sin(π/2+x) = cos(x)   og   tan(π/2+x) = –1 / tan(x).

cos(x) og sin(k x + f)

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Sammensatte funktioner

"Stabler" man funktioner i den forstand, at den enes funktionsværdi er er input til den anden, taler man om sammensatte funktioner. Det læses "f af g af x" og skrives

f o g(x) = f(g(x)).

Ind i mellem skiller man en sammensat funktion i dens bestandele:

z = h(x) = f(g(x)) = f(y), hvor y = g(x).

Med hensyn til definitionsmængden for f(g(x)), må vi kræve, dels at x ligger i Dm(g), dels at g(x) ligger i Dm(f).

Almindeligvis er f(g(x)) forskellig fra g(f(x)).

Her er differentiation af sammensatte funktioner behandlet.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Omvendt funktion

At to funktioner f og g er hinandens omvendte vil sige, at

f(g(x)) = g(f(x)) = x.

Hvis f har en omvendt funktion, skrives den ofte f ^–1, så f(f ^–1(x)) = f ^–1(f(x)) = x.

Betingelsen for, at f har en omvendt funktion f ^–1 er, at f ^–1 opfylder det generelle funktionskrav. Dette krav er opfyldt, hvis f.eks. f er voksende eller aftagende.

Sætter vi y = g(x), er x = f(y). Heraf ses, at x og y "bytter roller", når vi skifter mellem f og g. Grafisk betyder det, at

graferne for   f   og   g   er hinandens spejlbilleder i linien y = x.

Her er et eksempel

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]