Der er tradition for at skrive tal på "videnskabelig" form d.v.s dele dem
i mantisse og karakteristik.
Karakteristikken siger hvilken dekade, tallet ligger i. Mantissen
(∈ [1; 10[) hvor i dekaden, det ligger.
0.00234 skrives 2.34 ·
10–3. Mantissens første ciffer (her 2) er tallets
første betydende ciffer fbc. Dette projekt skal handle om, hvordan
måletals fbc fordeler sig.
Umiddelbart skulle man måske tro, at fbc var jævnt fordelt, så
ca. lige mange måletal har fbc = "1" som fbc = "9". Men ...
Hvis et måletals mantisse ligger i intervallet [1; 2[, er dets fbc = "1". Ligger det i [2; 3[, er fbc = "2" o.s.v.
Lad p(1), p(2), ... , p(9) være frekvenserne af de 9 mulige førsteciffre. Det er uden videre klart, at p(1) + p(2) + ... + p(9) = 1.
Nu er der det ved måletal, at deres fbc - fordeling er uafhængig af den enhed, målingen er foretaget i. Hvis et kålhovedes vægt ligger i [1; 2[ kg, ligger det i intervallet [2; 4[, hvis vi vejer i pund. Konklusionen er, at p(1) = p(2) + p(3). Eller generelt p(1) = p(n) + p(n+1) + ... + p(2n–1).
Vi ser nu på fordelingen af måletals mantisser. Fordelingsfunktionen F(x) er fastlagt ved
Den særlige egenskab for måletal kan udtrykkes
Det betyder, at F(k·x) – F(x) = konstant (uafhængig af x).
Ved differentiation (vi antager, at F(x) er differentiabel med F'(x) = f(x) og
F'(k·x) = k · f(k·x)) fås
k · f(k·x) = f(x) for alle k og x-værdier.
Sætter vi x = 1, har vi
så f(x) = f(1) / x er en omvendt proportionalitet.
Dens stamfunktion F(x) er f(1) · ln(x)
Af F(10) = 1 slutter vi, at f(1) = 1 / ln(10), så F(x) = ln(x) / ln(10) = log(x).
Vi kan nu beregne sandsynligheden for at f.eks. fbc = "3":
P(fbc = "3") = P(x ∈ [3; 4[) = F(4) – F(3) =
log(4) – log(3) = 0.1249 .
Den endelige konklusion bliver, at
Blandt måletal er der altså næsten 7 gange så stor sandsynlighed for førsteciffer "1" som for førsteciffer "9".
[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]