Eksponentielle funktioner

Emner

• Eksponentielle funktioner
• Enkeltlogaritmisk koordinatsystem
• Bedste eksponentielle funktion
• Fordobling og halvering
• Generel regnemaskine til eksponentielle funktioner
• Differentiation af eksponentialfunktionen (a^x)' = a^x ln(a)

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Eksponentielle funktioner   f(x) = b· a^x

En funktion kaldes eksponentiel, hvis dens regneforskrift er af form f(x) = b · a^x, hvor a og b er positive tal.
Er specielt b = 1, så f(x) = a^x, taler man om en eksponentialfunktion.

Fremskrivningsfaktoren   a

Vi ser på to "nabopunkter" (x, y) og (x + 1, y₁) på grafen for f(x) = b · a^x

x x x + 1 f(x) y = b · ax y1 = b · ax+1 = b · ax · a = y · a

Tabellen viser, at y ganges med a, når x vokser med 1. Derfor kaldes a fremskrivningsfaktoren. f er voksende, hvis a > 1 f er aftagende, hvis 0 < a < 1.

Vi ser på to grafpunkter (x₁, y₁) = (x₁, b · a^x₁) og (x₂, y₂) = (x₂, b · a^x₂).

x x1 x2 f(x) y1 = b · ax1 y2 = b · ax2

y2 y1 = ax2 ax1 = ax2–x1   giver   a   =   x2–x1 √ y2 y1 .

Når x ændres fra x₁ til x₂, er ændringen Δx = x₂ – x₁, så y₂ = y₁ · a^Δx.

b's betydning

Sætter vi x = 0 i regneforskriften, får vi y = f(0) = b · a⁰ = b, så punktet (0, b) ligger på grafen. D.v.s. grafen skærer 2-aksen i et punkt i højden b. b beregnes af

b =

y1 ax1

.

Regnemaskinen beregner værdien til højre for den ændrede størrelse i ligningen y = b · a^x.
Ændr værdierne for b , a , x eller y og klik uden for boksen

Denne regnemaskine giver dig en regneforskrift for den eksponentielle funktion, hvis graf indeholder punkterne (x₁, y₁) og (x₂, y₂).
Ændr værdierne for x₁ , y₁ , x₂ eller y₂ og klik uden for boksen.

Enkeltlogaritmisk papir er funktionspapir, hvor andenaksen er logaritmisk, så grafen for en eksponentiel funktion bliver en ret linie. Man kan altså afgøre, om en funktion er eksponentiel ved at plotte støttepunkter til grafen på enkeltlogaritmisk papir.
Jo nærmere punkterne ligger ved en ret linie, jo mere "eksponentiel" er funktionen.

Denne regnemaskine giver dig ligningen for den bedste eksponentielle kurve gennem et antal punkter. Jo nærmere fit er ved 1, jo bedre overensstemmelse.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Er a > 1, vokser funktionen. Fordoblingskonstanten T₂ er antallet af fremskrivninger, der skal til, for at størrelsen er fordoblet. Vi finder a^T₂ = 2, hvoraf T₂log(a) = log(2) eller (tilsvarende for halvering)

T2 =

log(2) log(a)

og   T½ =

log(½) log(a)

.

Lader vi T være en fællesbetegnelse for T₂ og T_½, har vi

aT = {

2   for voksende funktioner ½   for aftagende funktioner

f(x) = {

b ·ax = b (aT)x/T = b · 2x/T   for voksende funktioner b · (½)x/T   for aftagende funktioner

Ændr værdien for a eller T₂ (T_½) og klik uden for boksen
a: T₂ :
a: T_½:

Her finder du forskellige interaktive træningsopgaver.

Generel regnemaskine til eksponentielle funktioner

Regnemaskinen beregner ukendte størrelser i en eksponentiel sammenhæng.
Punkterne (x₁, y₁) og (x₁, y₁) ligger på grafen for f(x) = b· a^x. T₂ / T_½ er fordoblings / halveringskonstanten.
Reset mellem kørsler.
Indtast nogle af værdierne for x₁, y₁, x₂, y₂, a, b, T₂ eller T_½ og klik uden for boksen

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]