Matematik
Fysik og astronomi
Matematik er den disciplin, der undersøger og beskriver strukturer. Matematikeren leder efter mønstre, og når et mønster er fundet, forsøger han at placere det i et mønster af mønstre. (I de senere år er det oven i købet lykkedes at give matematiske beskrivelser af KAOS!).
Inspirationen kan komme fra den omgivende fysiske verden, men fuldt så ofte opstår den i vor egen fantasi. På samme måde kan motivet til at drive matematik være dobbelt. Matematikeren kan være hyret til at løse et problem. Eller han er drevet af trangen til struktur. Man skelner somme tider mellem anvendt matematik og "ren" matematik. Men der er ingen vandtætte skodder: megen problemorienteret forskning har givet anledning til gennembrud. I 1660-erne opfandt Isac Newton differential- og integralregning for at kunne beskrive sin opfattelse af planetsystemet og Blaise Pascal og Pierre de Fermat opfandt lidt tidligere sandsynlighedsregning på bestilling af spillere. På den anden side har det meste "rene" matematik før eller siden vist sig nyttig. Selv noget tilsyneladende upraktisk som primtalsteori finder i dag anvendelse i de kryptosystemer, der bliver mere og mere uundværlige i moderne elektronisk kommunikation.
Det meste matematik er aksiomatisk opbygget. Det vil sige, at udgangspunktet er et sæt af begreber, hvis indhold man er enige om (begreberne er veldefinerede). For eksempel: helt tal, reelt tal, interval, funktion, punkt, linie ... Disse begreber er knyttet sammen af aksiomer f.eks: to linier skærer hinanden i højest ét punkt. Ethvert sammensat tal kan på én og kun én måde opløses primfaktorer.
Matematikkens kolossale succes skyldes i væsentlig grad denne enighed om udgangspunktet (at folk mener det samme, når de f.eks. taler om, at en funktion er differentiabel). Processen går ofte fra det vage mod det konkrete, det operationelle. Man starter måske med en (vag) forestilling om funktioner med sammenhængende grafer og kalder dem kontinuerte. Men så kommer problemerne: Hvordan afgør man, om f. eks. f(x) = √x er kontinuert ? Uden en håndfast definition af kontinuitet kan spørgsmålet ikke afgøres én gang for alle.
Matematik er et ekstremt hierarkisk fag. Det vil sige, at vi tror på, at alle vore påstande hviler på andre påstande, som til syvende og sidst kan føres tilbage til de grundliggende udsagn (aksiomerne). De logiske slutninger, der fører op gennem dette hierarkiske system er kontrolleret af generation efter generation af f.eks. matematikstuderende, som ville give et godt stykke af højre arm for at blive berømte på at finde fejl i argumentationen. Matematikkens kolossale succes skyldes i høj grad, at vi kan have tillid til tidligere generationers resultater. Det betyder ikke, at matematikere ikke tager fejl. Gennem lang tid var det opfattelsen, at en kontinuert funktion måtte være differentiabel i det mindste i delintervaller af definitionsmængden. I forrige århundrede blev der imidlertid givet eksempler på kontinuerte funktioner, der ikke er differentiable noget sted.
For mange andre fag er situationen helt anderledes, idet udøverne fra tid til anden føler behov for at vende kritisk tilbage til udgangspunktet. (Marxistisk historieopfattelse, eksistensfilosofi). Disse fag har følgelig en tendens til at falde i forskellige skoler, hvad deres dyrkerne ofte opfatter som en styrke.
Matematik er et fag med en metode. Vi beviser vore påstande. Nogle eksempler:
Allerede i klassisk græsk oldtid var man klar over, at der er uendelig mange
primtal (hele positive tal større end 1, der kun kan deles med 1 og tallet selv).
Euklid giver et indirekte bevis:
Lad os antage, at p1, p2, p3, ... , pn = 2,
3, 5, 7, ... , pn er samtlige primtal. pn er altså
det største af alle primtal. Ganger vi alle primtallene sammen og lægger 1
til, får vi
Er p et primtal ? Vi kan i hver fald se, at p ikke kan divideres med noget af de første n primtal, fordi en division vil give resten 1. Så enten er p et primtal eller sammensat af prim-faktorer, der er større end pn. Følgelig er der større primtal end pn. Vores oprindelige antagelse (at pn var verdens største primtal) kan derfor ikke opretholdes.
Legenden vil det, at et halvreligiøst oldgræsk broderskab kaldet Pythagoræerne opgav at interessere sig for talteori, fordi de opdagede, at √2 ikke er et rationalt tal. (et tal, der kan skrives som en brøk med et helt tal i tæller og nævner). Også dette bevis er indirekte, altså: vi antager, at √2 = p/q (og at brøken er forkortet i bund) og finder
Følgelig er q2 og dermed q et lige tal. Altså kan p/q forkortes med 2 i modstrid med vores oprindelige antagelse. √2 er altså irrational og i desperation over dette urimelige resultat kastede Pythagoræerne sig over geometrien.
Vi vil bevise, at påstanden
er sand for alle hele positive tal n. Pudsigt nok starter vi med at antage, at påstanden holder op til og med tallet n. Hvad så med næste n-værdi? Vi finder
Men dette er jo netop vores påstand om tallet n + 1, så hvis påstanden
holder for tallet n, holder den også for det næste tal n + 1.
For n = 1 siger påstanden, at 1 = 1·2·3/6 , hvilket er sandt.
Men når den holder for n = 1, holder den for n = 2. Men så holder den
også for n = 3 o.s.v , som når en stribe dominobrikker vælter hinanden.
Vi har altså bevist, at summen af de n første kvadrattal er
n(n + 1)(2n + 1)/6.
Denne bevisteknik kaldes induktion. Blandt hardcore matematikere regnes induktion for
aksiomet bag de hele tal.
Vi tegner en tilfældig parabel og den symmetriakse. I et tilfældigt punkt
P på parablen tegnes tangenten t. Denne skærer symmetriaksen i
et punkt Pt. Kalder vi P's projektion på symmetriakse
Pa gælder: Pt og Pa ligger
symmetrisk omkring parablens toppunkt.
Dette resultat (som grækerne i oldtiden havde fundet ved rent geometriske metoder)
kan bevises ved at lægge et koordinatsystem med origo i parablens toppunkt og 2-akse
langs symmetriaksen. I dette koordinatsystem har parablen ligningen y =
Ax2.
Et tilfældigt punkt på parablen har koordinaterne
(x1, Ax12). I dette punkt er tangentens
hældningskoefficient f'(x1) = 2Ax1, og tangentens
ligning bliver
Skæringspunktet med symmetriaksen (2-aksen) findes ved at sætte x = 0
I vores koordinatsystem er Pt(0, –y1) og Pa(0, y1), som ligger symmetrisk om parablens toppunkt. |
Metoden består i at oversætte et (her geometrisk) problem til et system af ligninger. Derefter løses ligningerne og resultatet oversættes tilbage til det oprindelig problem. Man kalder denne meget succesfulde metode for den analytiske metode. I en matematisk analyse af et problem opstiller man kravene til, at 'x' er en løsning til problemet. Løsningen findes ved at regne på kravene.
Matematikken er ufuldstændig. Hermed menes ikke, at vi mangler at bevise
nogle sætninger (det vil vi altid). Nej; det forunderlige er, at det i 30-erne
lykkedes den tyske matematiker
Gödel
at bevise, at ethvert matematisk aksiomsystem er
ufuldstændigt i den forstand, at der inden for systemet vil findes sætninger,
som hverken kan bevises eller modbevises.
(Gödels bevis er en variant af det gamle græske paradoks om kretenseren, der
påstår, at alle kretensere lyver). Dette forbløffende resultat har
forårsaget megen selvransagelse blandt matematikere.
Matematikken er smuk, hvis man ved smuk forstår harmonisk uden at være stillestående. Matematikken giver sine dyrkeren oplevelser af stor æstetisk værdi. Det hænger sammen med at tingene typisk 'går op i en højere enhed' på en måde, der kan minde om musik. Med dirigenten Sergiu Celibidaches ord: "I symfoniens sidste sats indfries det løfte, der blev udstedt i første."
Jens Hansen har en bondegård med 25 køer, som han lever af. Han har det
problem, at den frygtede kvægsygdom skrumpesvind fra tid til anden rammer hans
(og andre landmænds) besætning med det resultat, at de syge dyr må
sendes til limfabrikken.
Sygdommen har været kendt i mange år, og man ved, at den på landsbasis
rammer hver 10-de ko. Nogle år er Jens heldig og mister 0 eller 1 ko; andre gange
flere, men gennemsnitligt over mange år mister han 2.5 årligt.
Anser vi køernes skæbner for uafhængige af hinanden (skrumpesvind er ikke smitsom), er antallet (X) af mistede køer binomialfordelt med n = 25 og p = 1/10. I regnemaskinen finder vi
Medicinalfirmaet TotalKemi vil gerne gøre noget godt for landbruget og sig selv. Firmaet udvikler en forebyggende medicin mod skrumpesvind, men inden man kan gå i markedet med produktet, skal det først godkendes af de veterinære myndigheder. Her oplyser man TotalKemi om, at firmaet må sandsynliggøre, at medicinen er effektiv, inden den kan markedsføres. Dette gøres ved at udtage en tilfældig stikprøve, give medicinen og se, hvordan det går.
Nu er der det problem ved stikprøver, de ikke altid viser sandheden. Det kan jo tænkes, at stikprøven er god (kun få køer dør) ved rent tilfælde og ikke på grund af medicinen. Vi skal altså tage stilling til, hvor sandsynligt det er, at stikprøven er god p.g.a. medicinen på den ene side og i kraft af det blinde tilfælde på den anden. Det kan gå galt på to måder:
I vort tilfælde vil man se med størst alvor på fejl af første
slags. Myndighederne kræver altså bevis for, at det er meget usandsynligt,
at en god stikprøve skyldes rent held. I praksis sætter man kriteriet
(konfidensniveauet) ved ca. 5% for medicin til dyr og ca. 1% ved medicin til mennesker.
(0% - d.v.s. helt at udelukke heldet kan man ikke). Et andet krav fra myndighederne er,
at stikprøverne ikke må være for store, fordi der altid er en vis
risiko ved medicinske forsøg.
TotalKemi henvender sig til Jens Hansen, som indvilliger i at lade sin besætning medicinere. Ét år senere har han (kun) mistet 1 ko, hvor han normalt måtte påregne at miste hver 10-de d.v.s. 2-3 køer. Umiddelbart har han klaret sig bedre end forventet, hvilket støtter tilliden til medicinen. Men er det stærkt nok til at overbevise myndighederne? Her siger man: før vaccinen klarede Jens Hansen sig ind i mellem lige så godt eller bedre. Med medicinen mister ham 1 ko. Uden medicin mister han 0 eller 1 ko med sandsynligheden P(X ≤ 1) = 0.271. Der er altså knap 30% sandsynlighed for, at han klarer sig lige så godt eller bedre uden medicin. Med andre ord: der er ca. 30% sandsynlighed for, at det gode resultat skyldes held, og altså kun ca. 70% sandsynlighed for, at medicinen har skylden. Men myndighederne accepterer kun 5% sandsynlighed for at heldet er årsagen! Selv om Jens Hansen slet ikke havde mistet nogen ko, ville det ikke være stærkt nok, fordi heldet i dette tilfælde må tillægges 7,2% af æren for det udmærkede resultat. Stikprøven er simpelthen for lille.
TotalKemi beslutter sig for at inddrage Jens Hansens nabo, der også har 25
køer, i undersøgelsen. Efter et år har naboen ikke mistet nogen ko,
men dette resultat er, som vi har set, ikke tilstrækkeligt til at overbevise
myndighederne. Men lægger vi de to stikprøver sammen til en på 50
køer, ser det andeledes ud: af 50 køer mistedes 1.
Sandsynligheden for at opnå et lige så godt eller bedre resultat uden
vaccination er
Heldet er altså kun årsagen med 3.4% sandsynlighed, så medicinen godkendes til brug på dyr. Havde det drejet sig om mennesker, var den forkastet.
Første gang vi møder "uendelig" er nok, når vi møder brøken 1/3, altså skal dividere 1 med 3. Vi konstaterer til vor undren, at divisionen aldrig bliver færdig. Vi skriver
hvor lighedstegnet kun gælder, hvis der er "uendelig" mange 3-taller efter kommaet. Vi bruger altså her ordet "uendelig" i betydningen "uden ende".
Ethvert decimaltal bør opfattes som uendelig langt; blot ulejliger vi os ikke med at skrive resten, hvis decimalerne fra et vist trin alle er lig 0.
I klassisk græsk filosofi diskuterede man bl. a. hvad bevægelse er, og Sofisterne gjorde sig bemærket ved at påstå, at bevægelse var en umulighed. Til støtte for påstanden fremsatte man forskellige paradokser (hvad er et paradox ?), her imellem det berømte om Achilleus og skildpadden:
Der arrangeres et væddeløb mellem sportshelten Achilleus A og en skildpadde S. Af fairness-grunde får skildpadden et forspring. Argumentet er nu følgende: Der går en tid fra start til A er nået frem til S's startpunkt. I dette tidsrum har S bevæget sig et stykke. Når A er fremme ved dette punkt, har S igen flyttet sig et stykke, og er altså stadig foran A. O. s. v. Når vi tror at se Achilleus overhale skildpadden, må det bero på et synsbedrag !
Vi regner lidt på sagerne og sætter A's hastighed til 10 m/s, S's til 1 m/s og forspringet til 10 m.
Når Achilleus når frem til skildpaddens startpunkt, er der gået 1 sek. I dette sekund har skildpadden bevæget sig 1 m, så nu er skildpadden 1 m foran. Når Achilleus når dette punkt, er der gået yderligere 1/10 = 0.1 sek. På 0.1 sek flytter skildpadden sig 0.1 m, som Achilleus tilbagelægger på 0.01 sek. Fortsætter vi dette argument, bliver den samlede tid
som er mindre end f.eks.2 sek. Vi ser til vor lettelse, at der ikke går uendelig lang tid, inden Achilleus indhenter skildpadden.
Sofisternes "trick" består i at narre os til at tro, at hvis man lægger uendelig mange positive tal sammen, vil resultatet blive uendelig stort. Vor analyse viser, at det ikke altid er tilfældet. Hvis tallene bliver små nok hurtigt nok, bliver summen endelig.
Achilleus indhenter skildpadden efter 1.1111111 ... = 10/9 sekund. Matematisk udtrykker man processen ved at skrive:
Man siger, at følgen an konvergerer mod grænseværdien 10/9 for n "gående mod uendelig".
log(an) = n log(a) gælder for alle hele tal n. Det er en ordentlig mundfuld. Hvordan kan man overhovedet udtale sig om alle hele tal, når vi ved, at der er uendelig mange af dem? (vi kan jo ikke overkomme at checke dem alle).
Det problem klarer matematikken på en for den typisk måde: den definerer sig ud af det.
Udgangspunktet er ideen om nedarvning: en egenskab ved tallet n kan arves af det efterfølgende tal n + 1. Suppleres det med et anker f.eks, at tallet 1 har egenskaben, definerer matematikken, at alle hele positive tal har den.
Vi lægger ud med udsagnet log(an) = n log(a), som muligvis er
sandt for alle hele positive tal n.
Arvelighed: Er log(an) = n log(a), må
log(an+1) = log(an · n) = log(an) + log(a) =
n log(a) + log(a) = (n+1) log(a), så rigtigheden af udsagnet nedarves fra
n til n + 1.
Anker: for n = 1 siger udsagnet , at log(a1) = 1 log(a),
hvilket er sandt.
Konklusion: log(an) = n log(a) er virkelig sandt for alle hele
positive tal.
Bemærk, at teknikken står og falder med, at et helt tal har en og kun en efterfølger. Det er årsagen til, at potensregnereglen ikke kan bevises for reelle eksponenter; den må defineres.
Vi tænker os en bakterie, der kan leve i 2 timer. I den første time er den
"ung" og får 1 efterkommer. I den anden er den "gammel", får 1 efterkommer og
dør.
Vi begynder med 1 gammel. Efter 1 time er den død, men erstattet af 1 ung. Efter
yderligere 1 time har den ynglet og er blevet gammel. Ydeligere 1 time senere har vi 2
unge og 1 gammel.
Time for time ser det således ud: 1g = 1, 1u = 1, 1g + 1u = 2, 2u + 1g = 3, 3u + 2g = 5, o.s.v.
Talfølgen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... er bestemt ved a1 = a2 = 1 samt an = an–2 + an–1. Det er klart, at an → ∞ for n → ∞ , men hvad med forholdet an–1 / an? Vi finder
Tror vi nu på, at forholdet mellem et tal fra følgen og dets efterfølger nærmer sig til et tal φ, når vi løber følgen igennem, har vi
Det fundne tal φ = (–1 + √5) / 2 = 0.61803 er interessant, idet det udtrykker det såkaldte gyldne snit.
Et ark papir med sidelængderne a og b er formet efter det gyldne snit, hvis b/a = (a–b)/b. Det betyder
som er samme ligning som før. Den korte side er altså ca. 0.61803 gange så lang som den lange.
Klik på næste for at få næste Fibonacci - tal.
Vi ser igen på ligningen 1/φ = φ + 1
eller φ = 1 / (1 + φ). Sætter vi
φ ind på φ's plads
på højre side, få vi
φ = 1 / (1 + 1 /( 1+φ)).
Fortsættes denne proces, har vi
Bemærk, at kædebrøken består af lutter 1 - taller.
Klik på næste for at få næste værdi af φ.
Hotellet har uendelig mange værelser med numrene 1, 2, 3, ... En aften, hvor alle værelser er besatte, kommer en gæst og ønsker at få et værelse. Hvad gør værten? Han beder de indlogerede om at flytte til naboværelset med nummer 1 højere end det, de først boede på. Således frigøres værelse nr. 1, hvor den nytilkomne får plads.
Senere kommer 10 nye gæster. Hvad gør værten? Endnu senere kommer uendelig mange nye og også disse får plads. Hvordan?
[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]