Bezier splines

I industrielt design har man brug for andre krumme kurver end (dele af) cirkler, ellipser, parabler eller hyperbler. Specielt er man interesseret i lokal kontrol d.v.s. man kan ændre den ene ende af kurven, (næsten) uden at det påvirker kurvens anden ende.
Ordet spline var oprindelig betegnelse for en møbelsnedkers fleksible kurvelineal. I dag betyder ordet en "fri" kurve, der styres af kontrolpunkter.

Emner

• Bezier splines
• Casteljaus metode
• Bernstein polynomier
• Generalisering
• Links

Bezier splines

Industristandarden for "frie" kurver er idag Bezier splines opkaldt efter Pierre Bezier, der i 1960 - erne arbejdede som ingeniør for Renault fabrikkerne. I de år begyndte man at anvende computere til design (CAD "computer aided design").

I praksis sammensættes en kurve af et antal segmenter - hver fastlagt af 4 kontrolpunkter P₀, P₁, P₂ og P₃ således, at segmenetets endepunkter er P₀ og P₃. Segmentets tangent i P₀ er rettet mod P₁ og i P₃ mod P₂.

Kalder vi stedvektorerne til de 4 punkter r₀^→, r₁^→, r₂^→ og r₃^→, fremkommer et kurvepunkt P med stedvektor r(t)^→ ved et vægtet gennemsnit af stedvektorerne med vægtene (1 – t)³, 3t(1 – t)², 3t²(1 – t) og t³. Bezier kurven bliver en parameterkurve med ligningen

r(t)^→ = (1 – t)³r₀^→ + 3t(1 – t)²r₁^→ + 3t²(1 – t)r₂^→ + t³r₃^→   ,   0 ≤ t ≤ 1.

Vi ser, at

r(0)^→ = r₀^→   og   r(1)^→ = r₃^→ .

Desuden er

r'(t)^→ = –3(1 – t)²r₀^→ + 3(1 – 3t)(1 – t)r₁^→ + (6t – 9t²)r₂^→ + 3t²r₃^→ , så
r'(0)^→ = 3r₁^→ – 3r₀^→   og   r'(1)^→ = 3r₃^→ – 3r₂^→ .

Tangenterne i endepunkterne har de rigtige retninger.

Ordnet efter t's eksponent finder vi

r(t)^→ = (–r₀^→ + 3r₁^→ – 3r₂^→ + r₃^→)t³ + (3r₀^→ – 6r₁^→ + 3r₂^→)t² + (–3r₀^→ + 3r₁^→)t + r₀^→.

På koordinatform

P_x = (–P_0x + 3P_1x – 3P_2x + P_3x)t³ + (3P_0x – 6P_1x + 3P_2x)t² + (–3P_0x + 3P_1x)t + P_0x
P_y = (–P_0y + 3P_1y – 3P_2y + P_3y)t³ + (3P_0y – 6P_1y + 3P_2y)t² + (–3P_0y + 3P_1y)t + P_0y .

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Casteljaus metode

Et par år før Bezier fandt Paul de Casteljau (der arbejdede for Citroën) frem til de samme kurver ved følgende metode:

Liniestykket P₀P₁ deles i forholdet 1 – t : t af punktet P₀₁.
Liniestykket P₁P₂ deles i forholdet 1 – t : t af punktet P₁₂.
Liniestykket P₂P₃ deles i forholdet 1 – t : t af punktet P₂₃.
Liniestykket P₀₁P₁₂ deles i forholdet 1 – t : t af punktet P₀₁₂.
Liniestykket P₁₂P₂₃ deles i forholdet 1 – t : t af punktet P₁₂₃.
Liniestykket P₀₁₂P₁₂₃ deles i forholdet 1 – t : t af punktet P.

1 – t t

=

P01P1 P0P01

=

P12P2 P1P12

=

P23P3 P2P23

=

P012P12 P01P012

=

P123P23 P12P123

=

PP123 P012P

.

Vi finder

P₀₁ = (1 – t)P₀ + tP₁   og   P₁₂ = (1 – t)P₁ + tP₂
P₀₁₂ = (1 – t)P₀₁ + tP₁₂ = (1 – t)²P₀ + 2(1 – t)tP₁ + t²P₂
P₁₂₃ = (1 – t)P₁₂ + tP₂₃ = (1 – t)²P₁ + 2(1 – t)tP₂ + t²P₃
P = (1 – t)P₀₁₂ + tP₁₂₃ = (1 – t)³P₀ + 3(1 – t)²tP₁ + 3(1 – t)t²P₂ + t³P₃ .

Når t gennemløber intervallet [0 ; 1] beskriver P Bezier kurven.

Bezierspline med kontrolpunkterne P₀, P₁, P₂ og P₃

Beklager; din browser kan ikke vise applets!

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Bernstein polynomier

Af 1 = [(1 – t) + t]³ = (1 – t)³ + 3 t (1 – t)² + 3 t²(1 – t) + t³ ser vi, at vægtene (1 – t)³ , 3 t (1 – t)² , 3 t²(1 – t) og t³ tilsammen er 1.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Generalisering

De her behandlede splines kaldes 3 ordens, fordi vægt - polynomierne (Bernsteins 4 polynomier) er af 3 grad svarende til 4 kontrolpunkter.
Anvender vi i stedet n + 1 kontrolpunkter, giver binomialudvikling

[(1 – t) + t]ⁿ = K(n, 0)(1 – t)ⁿt⁰ + K(n, 1)(1 – t)^n–1t¹ + K(n, 2)(1 – t)^n–2t² + ...
+ K(n, n)(1 – t)⁰tⁿ .

De n + 1 led er Bernstein polynomierne af n'te grad, som vægter de n + 1 kontrolpunkter.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Links

Wikipedia om Pierre Bezier
Wikipedia om Bezier kurver

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]