Asymptotiske forhold og nogle specielle funktioner

Ved funktioners asymptotiske forhold forstår vi deres opførsel "i det lange løb", d.v.s for x → ∞.

Emner

Asymptoter

Asymptoter til grafen for f(x) er rette linier, som ikke kan skelnes fra grafen i det fjerne.

Vi deler asymptoter i 3 slags:

Her er asymptoter for polynomiebrøker behandlet.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

lim
x→∞		 ln(x)
xa		 → 0   for   a > 1

Beklager; din browser kan ikke vise applets!

ln(x) er en voksende funktion, men da tangentens hældningskoefficient ln'(x) = 1 / x bliver væksttempoet stadig mindre for "til sidst" at blive forsvindende lille. Det leder os til at formode, at

For at vise formodningen, accepterer vi først, at ln(x) < x, i hvert fald for "store" x-værdier.

Altså er ln(x½) = ½ ln(x) < x½   eller   ln(x)
x		 < 2
x½		 , som går mod 0   for   x → ∞. ♦

Da alle logaritmefunktioner er proportionale, er for a > 1

Sætter vi x = 1
y		 , har vi ln(x)
x		 = y ln( 1
y		 ) = –y ln(y) = –ln(yy) , så
0 =
lim
x→∞		 ln(x)
x		 =
lim
y→0+		 –ln(yy) , hvoraf
lim
y→0+		 yy = 1 , eller med andre betegnelser

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

lim
x→∞		 xa
ax		  → 0   for   a > 1

Beklager; din browser kan ikke vise applets!

Figuren viser graferne for

    xa (blå)
    ax (grøn)
    xa
    ax    		 (lysblå).

For a > 1 går både xa og ax mod ∞ for x → ∞, men hvem vinder ? Vi ser på funktionen

f(x) = xa
ax		 og finder, at ln(f(x)) = a ln(x) – x ln(a) = x[ a
x		 ln(x) – ln(a)].
Da
lim
x→∞		 ln(x)
x		 = 0 , går parentesen mod det negative tal –ln(a) for x → ∞,

og dermed går ln(f(x)) mod –∞.

Da ln(x) er kontinuert, slutter vi, at
lim
x→∞		 xa
ax		 = 0   for   a > 1.
På tilsvarende måde kan man vise, at
lim
x→∞		 xa
bx		 = 0   for   b > 1.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

lim
x→∞		 ax
xx 		 → 0   for   a > 1

Beklager; din browser kan ikke vise applets!

Figuren viser graferne for

    ax (blå)
    xx (grøn)
    ax
    xx    		 (lysblå).

For a > 1 går både ax og xx mod ∞ for x → ∞, men hvem vinder ? Vi ser på funktionen

f(x) = ax
xx		 og finder, at ln(f(x)) = x ln(a) – x ln(x) = x[ln(a) – ln(x)] → –∞   for   x → ∞.
Da ln(x) er kontinuert, slutter vi, at
lim
x→∞		 ax
xx		 = 0.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Oversigt

For a > 1, har vi nu følgende "kongerække" af funktioner, der går mod ∞   for   x → ∞

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

xx

f(x) = xx er defineret i R+ ved ln(xx) = x ln(x) eller med andre ord xx = ex ln(x).

For alle tal a > 0 gælder a0 = 1 og 0a = 0, men hvad med 00 ? For små a - værdier er de to regler tilsyneladende i strid med hinanden. Vi har allerede set, at

(xx)' = xx(ln(x) + 1)

Vi ser igen på definitionen xx = ex ln(x). Da xx er sammensat af de differentiable funktioner f(x) = ex og g(x) = x ln(x), er den differentiabel i R+. Vi finder

Rækkeudvikling af   f(x) = (x+1)x+1

Resultatet (xx)' = xx(ln(x) + 1) betyder, at

Taylor - udvikling af f(x) = (x+1)x+1 omkring x = 0 giver

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

1
x		 , sin(x)
x		   og   x sin( 1
x		 )

Beklager; din browser kan ikke vise applets! Figuren viser graferne for
1/x,
sin(x)/x og
x sin(1/x)
Ifølge l'Hopitals regel har vi
lim
x→0		 sin(x)
x		 =
lim
x→0		 (sin(x))'
x'		 =
lim
x→0		 cos(x) = 1 , hvis vi tror på, at cos(x) er kontinuert i x = 0 .

Samme grænseværdi er her fundet uden brug af differentialregning.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Γ - funktionen
Leonhard Euler Eulers Γ - funktion (læses "gamma - funktion") er et uegentligt integrale.
    Γ(x) = ∫ ∞

    0    		 tx – 1e– t dt .

Partiel integration giver

Γ(x) = ∫ ∞

0		 tx – 1e– t dt = [ –tx – 1e– t ] ∞

0		 + ∫ ∞

0		 (x–1)tx – 2e– t dt = (x – 1) Γ(x – 1) ,

hvor vi i første led har benyttet resultatet om xa/bx.
Er x = n et helt positivt tal, finder vi

Γ(n) = ∫ ∞

0		 tn – 1e– t dt = (n – 1)(n – 2) ... ∫ ∞

0		 e– t dt = (n – 1)(n – 2) ... 1 = (n – 1)!.
Beklager; din browser kan ikke vise applets!

Denne regnemaskine giver dig tilnærmede værdier af Gammafunktionen.
Indtast værdien for x og klik uden for boksen.
x = giver ln(Γ(x)) = og Γ(x) =

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

int(x) og round(x)

På moderne lommeregnere findes specielle funktioner f.eks. int(x), som runder x ned til nærmeste hele tal, og round(x), som runder x op eller ned til nærmeste hele tal.

abs(x – round(x)) og √(abs(x – round(x)))

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]