Vektorregning (3d)

Emner

• Generelt
• Skalarproduktet (prikproduktet)
• Planer i rummet
• Linier i rummet
• Skæring mellem 2 planer
• Skæring mellem 3 planer
• Vektorproduktet (krydsproduktet)
• Afstand mellem et punkt og en linie
• Rotation om en fast akse

Andet

• 3d-projektion

Generelt

I 3d-vektorregning regner vi med tredimensionale størrelser kaldet vektorer a^→ = ( a₁ , a₂ , a₃ ), hvor a₁ , a₂ og a₃ (vektorens koordinater) er tal.

Vektorerne i^→ = ( 1, 0 , 0 ) , j^→ = ( 0, 1 , 0 ) , k^→ = ( 0, 0 , 1 ) og o^→ = ( 0, 0 , 0 ) kaldes henholdsvis første enhedsvektor, anden enhedsvektor, tredie enhedsvektor (tilsammen basisvektorerne) og nul-vektoren.

Vektorkonstruktioner

Lad a^→ = ( a₁ , a₂ , a₃ ) og b^→ = ( b₁ , b₂ , b₃ ). k er et tal. Vi får brug for følgende konstruktioner:

Addition : a^→ + b^→ = ( a₁ + b₁ , a₂ + b₂ , a₃ + b₃ )
Multiplikation med et tal : k · a^→ = ( k a₁ , k a₂ , k a₃ )
Subtraktion : a^→ – b^→ = ( a₁ – b₁ , a₂ – b₂ , a₃ – b₃ )
Længde : |a^→| = √ ( a₁² + a₂² + a₃² )
Skalarprodukt : a^→ · b^→ = a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃

Bemærk, at de 3 første konstruktioner er vektorer. De sidste 2 er tal.
" · " betyder én ting mellem tal, en anden mellem et tal og en vektor og en tredie mellem to vektorer.
" |?| " betyder absolutværdien for tal; men længden for vektorer.

Vektorsætninger

Sætningerne (som er identiske med sætningerne for vektorer i planen) eftervises ved at indsætte vektorernes koordinater.

a^→ + b^→ = b^→ + a^→
a^→ + ( b^→ + c^→ ) = ( a^→ + b^→ ) + c^→
k · ( a^→ + b^→) = k · a^→ + k · b^→
a^→ – b^→ = a^→ + (–1)b^→
a^{→ .} a^→ = |a^→|²
a^{→ .} b^→ = b^{→ .} a^→
a^{→ .} ( b^→ + c^→) = a^{→ .} b^→ + a^{→ .} c^→

Beklager, din browser kan ikke vise applets.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Skalarproduktet (prikproduktet)

På samme måde som under 2d-geometrien kan man vise, at

cos( vinkel ( a→, b→) ) =

a→ . b→ |a→| · |b→|

.

a^{→ .} b^→ > 0   giver   cos( vinkel (a^→ , b^→) ) > 0   giver   0° < vinkel( a^→ , b^→) < 90°
a^{→ .} b^→ = 0   giver   cos( vinkel ( a^→ , b^→) ) = 0   giver   vinkel( a^→ , b^→) = 90°
a^{→ .} b^→ < 0   giver   cos( vinkel ( a^→ , b^→) ) < 0   giver   90° < vinkel( a^→ , b^→) < 180°.

Projiceres a^→ på b ^→ få projektionsvektoren a_b^→

ab→ =

a→ . b→ |b→|2

. b→ .

Sætter vi b^→ / |b^→| = e^→ (enhedsvektor i b^→'s retning) får vi a_b^→ = ( a^→ · e^→ ) e^→.

Denne regnemaskine beregner vinkel ( a^→ , b^→) og a^→'s projektion på b^→.
Ændr værdierne for a^→ eller b^→ og klik uden for boksen

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Planer i rummet

Vi ser på en plan i rummet, der indeholder punktet P₀ og har vektoren n^→ som normalvektor. Planen består af alle de punkter P, hvor P₀P^→ er vinkelret på n^→.
Har P og P₀ koordinaterne ( x, y, z ) og ( x₀, y₀, z₀ ) og er n^→ = ( a, b, c ), har vi

plan : {P( x, y, z ) | P₀P^{→ .} n^→ = 0} = {( x, y, z ) | a( x – x₀ ) + b( y – y₀ ) + c( z – z₀ ) = 0}.

Planens ligning er

ax + by + cz = ax₀ + by₀ + cz₀ = d.

Planen kan også fastlægges ved en parameterfremstilling. Punktet P₀ og de ikke-parallelle vektorer p^→ og q^→ ligger i planen. For ethvert punkt P i planen kan vi finde to tal s og t, så P₀P^→ = s p^→ + t q^→. Parameterfremstillingen bliver

plan = { P | P₀P^→ = s · p^→ + t · q^→ , hvor   s   og   t   ∈   R }.

Med sædvalige betegnelser har vi

P( x , y , z) = ( x₀ , y₀ , z₀ ) + s( p₁ , p₂ , p₃ ) + t( q₁ , q₂ , q₃ ).

Som en normalvektor til planen kan man benytte vektorproduktet (krydsproduktet) p^→× q^→.

Afstand mellem punkt og plan

Afstanden fra P til planen p er længden af P₀P^→'s projektion på n^→, altså

Denne regnemaskine beregner P( x , y , z)'s afstand til planen p : a x + b y + c z = d .
Ændr værdierne for x , y , z, a , b, c , d og klik uden for boksen

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Linier i rummet

I rumgeometri fremstiller en førstegrads ligning i x, y, z en plan (og ikke en linie som i 2d-geometri). I stedet anvender man i reglen parameterfremstillinger.

En ret linie l i rummet er parallel med en vektor r^→ og indeholder punktet P₀. Linien kan fastlægges som mængden af punkter P med den egenskab, at vektoren P₀P^→ er proportional med (retningsvektoren) r^→, altså

l = { P | P₀P^→ = t · r^→ , hvor   t ∈ R }.

Har P₀ koordinaterne ( x₀ , y₀ , z₀ ) og r^→ koordinaterne ( r₁ , r₂ , r₃ ), har vi

P( x , y , z ) = ( x₀ , y₀ , z₀ ) + t( r₁ , r₂ , r₃ ),

som kaldes liniens parameterfremstilling. t er parameteren.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Skæring mellem 2 planer

En linie i rummet kan også fastlægges som skæringskurven mellem to planer.

Lad de to planers ligninger være a₁x + b₁y + c₁z = d₁ og a₂x + b₂y + c₂z = d₂. Vi sætter t = z, og får ligningerne

a₁x + b₁y = d₁ – c₁t   og   a₂x + b₂y = d₂ – c₂t.

Ligningerne løses ved determinantmetoden

x =

(d1 – c1t)b2 – (d2 – c2t)b1 a1b2 – a2b1

og   y =

a1(d2 – c2t) – a2(d1 – c1t) a1b2 – a2b1

og   z = t .

Disse ligninger kan omskrives til

x =

d1b2 – d2b1 a1b2 – a2b1

+

b1c2 – b2c1 a1b2 – a2b1

· t   og   y =

a1d2 – a2d1 a1b2 – a2b1

+

c1a2 – c2a1 a1b2 – a2b1

· t   og   z = t .

Som parameterfremstilling for skæringslinien mellem de to planer kan vi benytte

( x, y, z ) =

æ ç ç ç è

| | d1 d2 b1 b2 | | | | a1 b1 a2 b2 | |

,

| | a1 a2 d1 d2 | | | | a1 b1 a2 b2 | |

, 0

ö ÷ ÷ ÷ ø

+

æ ç ç ç è

| | b1 b2 c1 c2 | | | | a1 b1 a2 b2 | |

,

| | c1 c2 a1 a2 | | | | a1 b1 a2 b2 | |

, 1

ö ÷ ÷ ÷ ø

· t .

Metoden forudsætter, at de to normalvektorer ( a₁, b₁, c₁ ) og ( a₂, b₂, c₂ ) ikke begge er vinkelret på k^→. Det er det samme som at forlange, at a₁b₂ – a₂b₁ ≠ 0. Skulle dette krav ikke være opfyldt, kan man komme igennem ved i stedet for at sætte t = z anvende f.eks t = x.

Skæring mellem 3 planer

Lad de tre planer have ligningerne

a₁x + b₁y + c₁z = d₁ ,
a₂x + b₂y + c₂z = d₂   og
a₃x + b₃y + c₃z = d₃ .

Skæringspunktet (hvis det findes) mellem planerne findes ved at løse ligningerne. Vi finder

x =	d1(b2c3 – b3c2) – d2(b1c3 – b3c1) + d3(b1c2 – b2c1) a1(b2c3 – b3c2) – a2(b1c3 – b3c1) + a3(b1c2 – b2c1)	=	| | | d1 d2 d3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 | | | | | | a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 | | |	,
y =	a1(d2c3 – d3c2) – a2(d1c3 – d3c1) + a3(d1c2 – d2c1) a1(b2c3 – b3c2) – a2(b1c3 – b3c1) + a3(b1c2 – b2c1)	=	| | | a1 a2 a3 d1 d2 d3 c1 c2 c3 | | | | | | a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 | | |	og
z =	a1(b2d3 – b3d2) – a2(b1d3 – b3d1) + a3(b1d2 – b2d1) a1(b2c3 – b3c2) – a2(b1c3 – b3c1) + a3(b1c2 – b2c1)	=	| | | a1 a2 a3 b1 b2 b3 d1 d2 d3 | | | | | | a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 | | |	.

Er (mindst) to af planerne parallelle, bliver nævnerne = 0.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Vektorproduktet (krydsproduktet)

Under skæring mellem to planer så vi, at vektoren

r→ =

æ ç ç ç è

| | a2 b2 a3 b3 | | | | a1 b1 a2 b2 | |

,

| | a3 b3 a1 b1 | | | | a1 b1 a2 b2 | |

, 1

ö ÷ ÷ ÷ ø

er vinkelret på begge vektorer a^→ = ( a₁, a₂, a₃ ) og b^→ = ( b₁, b₂, b₃ ). Det samme gælder for enhver vektor proportional med r^→. Særlig interesse knytter sig til vektorproduktet (krydsproduktet) n₁^→× n₂^→, som (uanset om de foregående operationer er mulige) er defineret ved

( a1, a2, a3 ) × ( b1, b2, b3 ) =

(

| | a2 b2 a3 b3 | |

,

| | a3 b3 a1 b1 | |

,

| | a1 b1 a2 b2 | |

)

.

Som et eksempel er

i→ × j→ = ( 1, 0, 0 ) × ( 0, 1, 0 ) =

(

| | 0 1 0 0 | |

,

| | 0 0 1 0 | |

,

| | 1 0 0 1 | |

)

= ( 0, 0, 1 ) = k→ .

Sætninger om vektorproduktet

Sætningerne eftervises ved at indsætte vektorernes koordinater.

a^→ × a^→ = o^→
i^→ × j^→ = k^→
j^→ × k^→ = i^→
k^→ × i^→ = j^→
a^→ × b^→ = – b^→ × a^→
a^→ × ( b^→ + c^→ ) = a^→ × b^→ + a^→ × c^→
(k · a^→) × b^→ = k · (a^→ × b^→)
|a^→ × b^→ |² + (a^{→ .} b^→)² = |a^→|^{2 .} |b^→|²

Udnytter vi i sidste sætning, at a^{→ .} b^→ = |a^→| · |b^→| cos(v), hvor v er vinklen mellem vektorerne, har vi
|a^→ × b^→ |² = (|a^→| · |b^→|)² – (|a^→| · |b^→|)² cos²(v) = (|a^→| · |b^→|)² sin²(v).

|a^→ × b^→ | = |a^→| · |b^→| ·|sin(v)|,

som vi tidligere har vist måler arealet af det parallogram, a^→ og b^→ danner.

Denne regnemaskine beregner bl.a. ( a₁, b₁, c₁ ) × ( a₂, b₂, c₂ ) og dens længde.
Ændr værdierne og klik uden for boksen

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Afstand mellem et punkt og en linie

Er punktet P og linien l: OP^→ = OP₀^→ + t · r^→, er dist(P, l) = | P₀P^→| · sin(vinklen mellem P₀P^→ og r^→). D.v.s.

dist(P, l) =

|P0P→ × r→| |r→|

Denne regnemaskine beregner afstanden mellem punktet P( x, y, z ) og linien l: ( x₀, y₀, z₀ ) + t · ( r₁, r₂, r₃ ).
Ændr værdierne og klik uden for boksen

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Rotation om en fast akse

Vi ser på en partikel P, der roterer med konstant fart v om en fast akse i rummet. Se også behandlingen i 2d.

Vi sætter P₀P^→ = r^→ og har nu v = ω R = ω |P₀P| sin(d) = ω |r^→| sin(d), som minder om længden af et vektorprodukt. Da desuden vektorerne ω^→, r^→ og v^→ danner en højreskrue, er

v→ =

d r→ dt

= ω→ × r→.

Vi ser, at man differentierer med hensyn til tiden ved at "krydse fra venstre" med ω^→. Altså beregnes accelerationen a^→ af

a^→ = ω^→ × v^→ = ω^→ ×( ω^→ × r^→).

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

3d-projektion

Perspektivbevarende projektion

Objekter i et 3-retvinklet koordinatsystem (O, i, j, k) skal afbildes i en plan.
Det sker ved at vælge et øjepunkt P₀ (x₀, y₀, z₀). Man ændrer synpunkt ved at ændre P₀'s koordinater direkte eller ved at ændre (r₀, θ, φ), hvor r₀ er længden af OP₀, x₀ = r₀sin(θ)cos(φ) , y₀ = r₀sin(θ)sin(φ) og z₀ = r₀cos(θ).
Sestrålen gennem P₀ og et punkt P₁ på objektet skærer projektionsplanen i P₂.
I projektioneplanen lægges et koordinatsystem (O, X, Y). P₂'s koordinater i (O, X, Y)-systemet beregnes og punktet tegnes.

Vi vælger at lægge projektionsplanen gennem O(0, 0, 0) med OP₀^→ som normalvektor. Planens ligning er

projektionsplan : x x₀ + y y₀ + z z₀ = 0.

Sestrålen har parameterfremstillingen

sestråle : (x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + (x₁ – x₀, y₁ – y₀, z₁ – z₀) t .

P₂'s koordinater findes ved at løse ligningerne

x₀² + x₀(x₁ – x₀)t + y₀² + y₀(y₁ – y₀)t + z₀² + z₀(x₁ – z₀)t = 0 .

Heraf findes t

t =

x02 + y02 + z02 x02 + y02 + z02 – x1x0 – y1y0 – z1z0

=

r02 r02 – x1x0 – y1y0 – z1z0

,

hvor r₀ er afstanden mellem O og P₀.

Koordinatsystemet (O, X, Y) fastlægges ved at 1-aksen er vinkelret på både k^→ og OP₀^→ og 2-aksen er vinkelret på både OP₀^→ og I^→

I→ =

k→ × OP0→ |k→ × OP0→ |

=

(–y0, x0, 0) √ x02 + y02

, og

J→ =

OP0→ × I→ |OP0→ × I→ |

=

(–x0y0 , –y0z0 , x02 + y02) r0√ x02 + y02

.

I projektionsplanen får vi koordinaterne

X = OP2→ . I→ =

x0y1 – y0x1 √ x02 + y02

· t , og

Y = OP2→ . J→ =

x0(x0z1 – x1z0) + y0(y0z1 – y1z0) r0√ x02 + y02

· t .

Stolen

Beklager, din browser kan ikke vise applets.

Parallelprojektion

Lad projektionsretningen være bestemt ved vektoren n^→ = ( sin(θ)cos(φ) , sin(θ)sin(φ) , cos(θ) ).
Projektionsplanen får ligningen x sin(θ)cos(φ) + y sin(θ)sin(φ) + z cos(θ) = 0.
Sestrålen gennem P₁ ( x₁, y₁, z₁ ) har parameterfremstillingen
( x, y, z ) = ( x₁, y₁, z₁ ) + ( sin(θ)cos(φ) , sin(θ)sin(φ) , cos(θ) ) · t .
Skæring mellem projektionsplan og sestråle (P₂) giver
t = –( x₁ sin(θ)cos(φ) + y₁ sin(θ)sin(φ) + z₁ cos(θ) )

I projektionsplanen er koordinatsystemet
(O, I^→, J^→) = ( O, (–sin(φ) , cos(φ) , 0) , (–cos(θ) cos(φ), –cos(θ) sin(φ), sin(θ)) ) .

I dette koordinatsystem får P₂ koordinaterne
X = –x₁ sin(φ) + y ₁ cos(φ) og
Y = –x₁ cos(θ) cos(φ) – y₁ cos(θ) sin(φ) + z₁ sin(θ) .

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]